時空的奧祕–淺談相對論

 
2017/02/06 欒丕綱 | 中央大學光電科學與工程學系     1,356
 
2016年2月間,被稱為「時空漣漪」的重力波新聞洗板了眾多科學愛好者的臉書,這個一世紀前廣義相對論的預言終於被觀測到且證實了。狹義相對論是廣義相對論的基礎,適用於不考慮重力的非彎曲時空,廣義相對論則是一個取代牛頓重力理論的彎曲時空幾何理論。

慣性參考系與絕對空間

物理現象的描述離不開時間與空間,而要對物理現象的變化追蹤與記錄時,就需要一個參考系,並在裡面訂出座標,且擺設時鐘。此外,還需要有一些觀察者記錄事件(例如某個瞬間發生的閃光)發生的地點與時間。

參考系通常是一些不會變形的剛體(rigid body),例如火車的車廂、房間、輪船甲板上、太空船裡,或是地球表面等。此外,一個「好」的參考系還必須能觀察到穩定而簡單的物理現象,例如一杯沒人碰觸的咖啡一定不會突然翻倒,一個吊著的單擺一定不會突然擺動,或靜止不動的球一定不會突然飛起來。這樣一種「中規中矩」的參考系就稱作慣性參考系或慣性系。

在慣性系內,一個不受力的物體會保持靜止,或做等速直線運動,這就是牛頓第一定律,又稱慣性定律。然而若物體受了力,它會另滿足牛頓第二定律。基本上,除了廣義相對論等幾個重力理論之外,大部分的物理定律都是建立在慣性系裡。

參考系若是做等速的直線運動(不加速,不轉動),則可視為是慣性系。但嚴格說起來,地球表面並不是完美的慣性系,因為從傅科擺(Foucault pendulum)擺動面的進動就可以看出地球在自轉。由於慣性系裡的物理定律與選擇哪一個慣性系無關,因此觀察者無法藉由慣性系內的物理現象得知慣性系本身的絕對運動速度,然而,牛頓認為宇宙間應該有一個絕對靜止的背景空間–他稱之為絕對空間,即使我們從力學上根本分辨不出它與其他慣性系的差別。

以太與絕對空間

以上討論的都是一些力學現象,以及以力學為基礎的聲學、熱學等現象。那麼光學又如何呢?在相對論之前,一個普遍接受的觀念就是任何波動都必須藉由介質傳遞。而光在19世紀末已確認是一種波,因此當時的物理學家認為真空中應該有一種介質可讓光在其中傳播,這個介質稱作以太(ether)。

在馬克斯威(J. C. Maxwell)發展出完整的電磁理論之後,他更進一步發現光波就是電磁波,而且真空中的光速可以用兩個重要的電磁參數—介電常數與磁導率—計算出來。根據這種介質傳遞波動的思想,自然產生了以下的觀念:相對於以太靜止的空間就是絕對空間;無法藉力學方法測出的參考系絕對速度,可以改用光學方法量測。

然而,這樣的想法卻遇到了許多困難。專為測量地球穿過以太的速度而設計的邁克森—莫雷實驗(Michelson−Morley experiment)並沒有測到這個速度,這似乎暗示著地表附近的以太被地球帶著走。但這個推測卻又與光行差現象的觀測有衝突,因為這現象暗示了地球可以穿過以太運動而不會拖著它走。

此外,還有菲佐的水流實驗(Fizeau experiment)也顯示雖然光被快速流動的流體帶著走,但光相對於實驗室的傳播速度並不是水流速度與靜態水中光速的直接相加。這些彼此矛盾的實驗結果在19世紀末的物理界導致了許多混亂。

羅倫茲轉換與狹義相對論時空

1905年,愛因斯坦提出了狹義相對論,他建議可拋棄以太的觀念,接受光可以在沒有介質的真空中傳播。一旦接受了這些假設,上述各現象就暗示了光學定律在各個慣性系中也是相同的,因此慣性系的絕對速度當然就無法藉由光學方法來測量了。以下就是狹義相對論的兩個基本公設:(1)所有慣性系中的自然定律都具有相同的形式;(2)光在任意慣性系裡的傳播速度是一個定值 c,與光源的運動無關。

第一條公設暗示光學實驗應無法得出參考系的絕對速度。第二條則可以視為是邁克森—莫雷實驗的結果,暗示了我們習以為常的時間與空間觀念必須修正,因為它並不符合我們平常對「速度加成性」的常識。愛因斯坦藉著這兩條公設,推導出任意兩個相對做等速直線運動(相對速度是 v)的慣性系 S 與 S' 之間的空間與時間座標轉換。

愛因斯坦並藉此修正了牛頓力學中有關質量、動量與能量的觀念,他最有名的公式 Emc2 也是這組轉換公式的一個重要推論。這組轉換式其實在1904年就已經被羅倫茲(H. A. Lorentz)找到了,因此又稱為羅倫茲轉換(Lorentz transformation)。不過,羅倫茲並沒有看出這組轉換式關鍵的物理意義,因為他仍在為電磁學與光學量身打造與以太不衝突的模型。愛因斯坦則是不考慮以太,直接從公設出發,重新導出了羅倫茲轉換式。

基於這兩個公設的狹義相對論給出的究竟是什麼樣的時空觀念呢?在相對論之前,兩個物體間的距離以及兩個事件間的時間間隔都認為是不會隨參考系改變的物理量,但在狹義相對論中這個說法不再正確了,取而代之的是與參考系有關的空間距離以及時間間隔。

以往,像「現在幾點鐘」這種問題在不同慣性系間是有意義的,但在狹義相對論中,A 慣性系內的某一特定時間換到與其有相對速度的B慣性系中,並不會對應到同一個特定的時間,而會是一系列與位置有關的時間。這個奇妙的結果稱作同時的相對性,也就是「我們(A 系內)的同時不等於你們(B 系內)的同時」。有趣的是,根據羅倫茲轉換會發現可以在任意兩事件之間定義一個時空間隔,這個物理量在任何慣性系中都具有同樣的值,與參考系的選擇無關。

要把這些觀念具體化,可以假定在參考系中布滿時鐘與觀察者(觀察者也可以被儀器取代),而每一個觀察者守著自己身邊的時鐘,記錄發生在自己身邊的事件。(假定有一個「時鐘工廠」可以生產無限個一樣好的時鐘,並分配給每一個慣性參考系使用)在任何一個參考系內做物理觀測之前,必須先校準這些時鐘,使得我們在這個參考系中說「現在時間是三點整」有意義。

我們可以在參考系內選一個時鐘當成標準時鐘,然後利用光或無線電波發送訊號給參考系內無限個點的觀察者。利用這些訊號的交換,並考慮傳播的時間(距離除以光速),就可以校準一個參考系內的每一個時鐘。每個觀察者對於不在自己的「駐守地點」發生的事並不會馬上知道,因此任何有關「下午三點鐘的世界」這樣的資訊,都是根據收集各地觀察者的「觀測筆記」所做的事後建構。

各個慣性系所建構的「世界史」雖然在空間位置座標與時間讀數上的紀錄有所不同,但透過羅倫茲轉換可以相互轉譯,以至於所有的慣性系在四維時空中可以建構出一致的共識。在這套語言裡,兩事件的時空間隔會是一個與參考系無關的絕對量,而這兩事件的時間間隔與空間間隔則分別變成了這時空間隔在特定參考系下的「時間投影」(一維)與「空間投影」(三維),是與參考系有關的相對量。相對論的「相對」一詞,指的就是這個意義下的相對性。

假定有一根桿子靜止放置在 A 系中,它在 A 系中的長度可以用尺去量,或用桿子兩端的空間座標差計算出來。若要知道這根桿子在與 A 系有相對速度的 B 系中的長度,就必須「同時」記錄桿子兩端在 B 系中的座標差以求出其長度。

根據前段的說明,這根在 B 系中運動的桿子兩端所經過的 B 系內各地的觀察者會記錄下端點經過的時間,於是從收集到的各地觀測筆記就可以找出某一指定時刻桿子兩端的位置並求出其長度。由於 B 系的同時在 A 系中並不對應同一時間,因此可以預期這桿子在 B 系中的長度會與 A 系中測到的不同。羅倫茲轉換給出的答案是 B 系中會量到一個較短的長度,這現象稱做「長度收縮」。

與這類似,一個靜止在 A 系中的時鐘 a 先後經過 B 系中兩個靜止的時鐘 b1 與 b2 時,a 鐘所記錄的時間間隔也會不同於 b2 與 b1 的讀數差。A 鐘記錄的時間差會比 B 系兩鐘的讀數差少,也就是 A 鐘較慢,B 系兩鐘量到較長的時間間隔,這現象稱為「時間膨脹」。

比較有意思的是,若把 A 與 B 兩系的角色互換,觀察一個 B 系中靜止的時鐘 b 經過 A 系中的兩個時鐘 a1 與 a2,也會發現 b 鐘讀數比 a2 與 a1 的讀數差少。這種「動鐘變慢」的現象乍看之下難以理解,但只要記得這裡是單一時鐘記錄的讀數少於它所經過的一系列時鐘的讀數差,而不是兩系各拿一個時鐘來比快慢,就不會有矛盾了。

為了區分這兩類時間,通常把單一時鐘記錄的時間稱為固有時或原時,而把固定在參考系中的時鐘(座標鐘)記錄的時間稱為座標時。動鐘記錄的固有時差會比沿途經過的座標時差來得短。

事實上,這個結論並不限於等速運動。一個非等速運動的時鐘在每一瞬間可以視為靜止於一個與它同速運動的慣性系中,累積一段極短的原時。由此可以推論出,一個時鐘或手錶若從慣性系原點出發進行高速旅行,最後回到原點時,全程累積的原時會比原點的時鐘記錄的數值少,也就是動鐘絕對地變慢了!把上述動鐘與原點處的座標鐘換成一對雙胞胎,原點換成地球,鐘的運動視為太空旅行,就是所謂的「孿生子佯謬」問題,結論就是太空旅行的孿生子回到地球後會比它的雙胞胎兄弟年輕。

極限速度與交互作用

狹義相對論所帶來的另一個重要結論,就是真空光速是一個極限速度。任何有質量的物體都不能藉著施力使它加速到光速,更不能超過光速。此外,還可以證明超光速的訊息傳遞若是可能,會造成因果律的混亂。因此,無窮大速度的訊息或能量傳遞在狹義相對論的架構下都不能存在。在這個限制下,不難看出任何超距作用力的作用一定不會是即時的,而要考慮時間推遲。

考慮一對電荷 A 與 B 間的庫倫相互作用。若晃動 A 電荷,B 電荷並不會立刻知道,要等待這個晃動的訊息以光速傳到了 B 電荷處,B 電荷才會出現相應的反應。進一步思考就會發現,若要不違反能量與動量守恆定律,電磁場必須攜帶動量與能量,並以波的形式傳遞出去。愛因斯坦發現馬克斯威方程不但能說明上述現象,而且在羅倫茲轉換下形式不變,是一個「天然的」相對論性理論。

反之,牛頓運動定律雖可以表述為在慣性系座標轉換下具有羅倫茲不變性(Lorentz invariance)的形式,但質量與能量的意義都要做適度的修正。愛因斯坦在發展出狹義相對論後,注意到牛頓重力理論還停留在庫倫定律的階段,因此他想要發展一個像馬克斯威電磁理論的相對論性重力理論也就不足為奇了。只不過,要把重力場相對論化並不如想像中簡單,結果也跟原來預期的不太一樣。最出乎意料的,或許是重力場對應於彎曲的時空。