如何說數學故事?

 
2017/01/23 洪萬生 | 臺灣大學數學系退休教授
 
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活動(演講)時間: 2015/03/31
 
在數學普及書籍和數學小說中,作家所採取的寫作進路,都是運用數學 vs. 敘事(narrative)的對比,從而基於數學的文學比喻(metaphor),開展數學知識活動的有趣與有用。在本講題中,洪教授列舉幾個被作家所使用的(中西)數學史案例,說明這種進路的書寫大有可能的發展空間。當然,數學史始終是核心內容,一旦恰當地掌握,那麼,說起數學故事來,就會變得有趣多了。對於數學學習者來說,想要檢視你的學習成效,有一個判準,就是重述(recount)你聽來的「故事」,看看你說的是否比別人說的更加有趣!

從小對於數學感到頭疼的我們,第一個接觸到的數學故事,應該是經典的「雞兔同籠」應用題。不過你知道這個問題是從《孫子算經》出來的嗎?數學家很早就在利用故事講述數學,然而數學定理與文學故事這兩個看似風馬牛不相干的東西,究竟要怎麼樣結合在一起?

講演綱要(撰文|高英哲)

最近出版了一本叫做《畢氏定理四千年》的書,作者毛爾 (Eli Maor) 在書中探討了一個問題:所謂數學之美究竟是什麼?數學家的共識是「對稱性」。比方說三角形的三條高永遠交於一點,因此沒有一個邊或一個頂點,比其他的邊或頂點更具有優先性;又譬如在圓形內任意找一點P,過點P畫出弦AB,那麼PA.PB是一個定值,也就是說對於P點來說,每條弦都是平等的,沒有高低之分。作者把這種現象稱之為「完全的民主」(complete democracy)。

這樣講聽起來很有趣,不過你可以自問:這個比喻跟這些定理的內容有什麼關係?對於證明這個定理有沒有幫助?或是反過來說,證明這個定理的過程,是否能夠讓你更能夠理解那個比喻?其實數學證明就像在說故事,數學定義就像是人物角色,而你可以決定他們演出的故事情節。就像沒有人喜歡看一個情節拐彎抹角,結局又不合理的故事一樣,數學證明也應該要簡明優雅,兼顧美感與邏輯。我們以歐幾里得測量圓面積的「窮盡法」為例,他用來逼近實際圓面積的近似值,不是做幾個了事,而是做了無限多個,愈來愈接近真正的結果;每一個近似值都是一個「謊言」,然而透過這些無窮多的謊言,卻能告訴我們「真理」,這就是一種既合乎邏輯,又具有美感的證明。

數學思維跟文學故事一樣,從許多特例中看出模式。特例比較容易理解,而我們可以從特例中看出一般性。我們以清朝中葉李銳的《句股算數細草》為例,他用圖解的方式來證明畢氏定理,但是同樣一張圖,不同的人看到,會有不同的解釋;畢氏定理的證明方法事實上有幾百種,但最後都能得到同樣的定理,就看人們用特例導出一般性的說故事本事,誰高誰低了。洪老師另外舉了三國趙爽注《周髀算經》,以及《孫子算經》物不知數題為例,說明從特例看出模式的思路。

數學概念跟文學故事另一個相同點,在於他們都不等於現實,甚至也不能直接對應到現實,卻能夠透過思考得到某些證明結果或人生啟發。這點在小川洋子的數學小說《博士熱愛的算式》提到歐拉公式時,有一段令人嘖嘖稱奇的描述:「⋯⋯永無止境循環下去的數字,和讓人難以捉摸的虛數,劃出簡潔的軌跡,在某一點落地。雖然沒有圓的出現,但來自宇宙的 pi 飄然地來到 e 的身旁,和害羞的 i 握著手。他們的身體緊緊地靠在一起,屏住呼吸,但有人加了 1 以後,世界就毫無預警地發生了巨大的變化,一切都歸於 0 。」這段文字美得讓人印象深刻,然而它在陳述的其實是 e(i pi) + 1 = 0 這個方程式的精華:

  @.方程式中有數學中五個最重要的數: 0, 1, e, pi, i 。
  @.方程式中有數學最重要的「相等」關係,以及三個最重要的運算:加、乘、取冪。
  @.除此之外,方程式中沒有任何其他不相干的東西,簡潔得令人屏息。

類似的數學故事,還有小說《質數的孤獨》中,從孿生質數的本質,引伸到人與人之間注定孤獨的狀態。這當然是反過來用數學來講故事了,不過從這些不勝枚舉的例子中,我們已經能夠看出,數學與文學這兩種看似八竿子打不著邊的領域,它們的共通與互補之處,其實遠比你我以為的來得多呢!

臺灣大學科學教育發展中心(NTU CASE)主辦
本講演蒙臺大科教中心慨允轉載,謹此致謝。
 
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