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數學:碎形維度怎麼算

我們生活在「三維」空間之中,直線是「一維」的幾何圖形,平面則是「二維」的。假設外星人是四度空間的生物,那麼,在我們這個三度空間中所看到的所謂「外星人」,應該只是它們的影子。
 
 
 
一般來說,維度(dimension)是一個非常直觀的數學概念。譬如說,我們生活在「三維」空間之中,直線是「一維」的幾何圖形,平面則是「二維」的。此外,我們也知道圓盤(disk)(圓所包圍的平面區域)是二維的幾何圖形,它的周界是一維的圓,卻能把圓盤全部包在裡面。換句話說,一維的圓形圍住了二維的圓盤。

不過,這種例子卻無法適用於一維對三維。譬如我們無法利用一個圓圈把犯人(一個三維的物體)關在裡面,因為一般的牢房須是有六個面(二維)的房間。這種討論也常出現在科幻小說中,假設外星人是四度空間的生物,那麼,在我們這個三度空間中所看到的所謂「外星人」,應該只是它們的影子。因此,地球人當然很難對抗外星人了。試想,如果你很用力地踩打我的影子,我會痛嗎?

事實上,如果科幻小說作家願意學習亞波特(Edwin Abbott),以「平面人」(flatlander)進行思考,多從事一點數理想像,「奇幻」的情節或許就會多一點知識味吧。19 世紀德國數學大師黎曼(Bernhard Riemann, 1826-1866)在進行有關曲面的研究時,就「設身處地」採取了二維的思考方式,因此得以建立一種最能反映曲面自然本質的「尺度」。

黎曼在他的〈論幾何學的基礎假說〉一文中,曾指出:「在曲面的了解上,內在的度量關係雖然只和曲面上路徑的長度相關,卻往往和曲面與其外部點的相對位置扯上關係。然而我們可以自外在關係中把曲面抽出,方法適用一種不改變面上曲線長度的彎曲;亦即曲面只能加以彎曲,而不能伸縮,因彎曲而產生的各種曲面都視為相同。因此,任何的圓柱面和圓錐面、平面是相同的,因為只要把平面彎曲便可形成錐和柱,而內在度量關係不變,所有關於平面的定理—整個平面幾何學,都仍然有效。反過來說,球面和上述的三種面則根本上不同,因為由球面變成平面勢必要伸縮。」這是對於曲面的內稟性質(intrinsic property)研究的一個最鮮明主張!

我們不妨以「二維生物」自居,來想像如何在彎曲的表面上爬行,而不覺得「地面」是彎曲的。這種二維生物顯然不存在於自然界,因為再怎麼「扁平」的生物,應該還是有第三個維度。無論黎曼是否使用這個二維生物的比喻,他的數學洞察力引導了我們進入一個二維,以他的姓氏命名的黎曼幾何(Riemannian Geometry)的想像世界。

顯然,黎曼的非凡創意來自於他把人類的維度降低了一維,以便進行貼近曲面的「在地思考」,從而創造出一套前所未有的幾何學,這大概是以維度「降低」的模式思維的好處。相反地,我們不妨考慮維度「提升」的情況,看看是否可以更逼近地理解大自然的奧祕。

這種比一維多一點的圖形,我們稱它是碎形(fractal)。不過,想直觀地認識它的維度,似乎不是容易的事。平心而論,維度的定義是極其抽象的。然而,科普作家還是能夠找到極佳的下手處,讓我們可以輕易地理解與掌握!現在,請碎形出場亮相吧!

碎形

Fractal(碎形)這個字出自拉丁文 fractus,其意是「碎成不規則細片的狀態」,是由生於波蘭,長於法國的數學家曼德布洛特(Benoit B. Manderlbrot, 1924-2010)在 1970 年所命名的。其實早在 1950 年代他就已提出這一概念,卻不受重視。直到科學家陸續發現自然和社會現象中都隱含碎形的存在,他的研究成果才逐漸贏得學界的重視。

曼德布洛特在巴黎工藝學院(Ecole polytechnique)就讀時,就從他的叔叔(法蘭西學院數學教授)處習得類似的概念,但他並不以為意。直到進入 IBM 實驗室從事研究時,由於擁有極大的自由度,才開始專注於這一主題。

曼德布洛特發現碎形具有「自我相似」的特性。以雪花的結晶為例,如果把雪花放在顯微鏡下觀察,可以發現相同的花樣不斷變小,類型卻一再重複出現。同理,在海岸線、閃電、樹枝乃至股價變動上,也看到了類似的特徵。無怪乎在他所獲頒的諸多榮譽博士學位中,也包括了來自人文社會領域的表彰。

曼德布洛特之前的數學家又是如何引進碎形的呢?德國數學家考區(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924)曾經造出一種現在稱為考區曲線(Koch Curve)的碎形。這個曲線的特徵是,如果擷取考區曲線的一部分按比例放大,會得到與整體一樣的圖形。

另一個例子是由波蘭數學家史賓斯基(Waclaw Sierpinski, 1882-1969)所發現的。他的造法很簡單,先把正方形分成 3 × 3 = 9 等份,拿掉正中央的正方形;把剩下的 8 個又各自分成 3 × 3 = 9 等份,再拿掉各自正中央的正方形;依此重複進行,將可得到一個具有自我相似特性的碎形,這一結果今日稱為「史賓斯基地毯」(Sierpinski Carpet)。

碎形維度

在介紹碎形維度之前,不妨先注意考區曲線的圖形特徵。顯然,它是把線段無限多次彎曲折疊擠壓而成,因此,猜測它的維度比一維高一點點,似乎還算合理。另一方面,這一曲線並未遍布整個二維的平面,因此應該比二維低。同理,推測史賓斯基地毯的維度也是介於 1 與 2 之間。

然而這種非整數的維度究竟是怎麼計算的呢?這就必須提及德國數學家豪斯多夫(Felix Hausdorff, 1846-1942)的研究成果了。他曾對實變分析學(real analysis)中的測度論(measure theory)做出不朽的貢獻,其中與碎形維度有關的兩個重要概念—豪斯多夫測度(Hausdorff measure)和豪斯多夫維度(Hausdorff dimension),都是因為歸功於他而命名的。不過,由於他的定義實在太抽象,不妨另引數學家史都華(Ian Stewart)的說明來幫助我們理解。

他取了兩條等長的繩子,把兩端對齊,則尺度大小(size)當然是 2 倍。若取一個正方形紙片,將需要 4 個拷貝(複製品)才能加倍這個正方形的尺度大小。若給一個正立方體的起司,則需要8個拷貝才能加倍尺度。以此類推,如果給的是一個「四維的起司」,需要 16 個拷貝。換句話說,要加倍一個 d 維的「超立體」(hypercube,三維立體的延拓),必須有 c = 2d 個拷貝。如此一來,兩邊取對數,即得

log c = log2d  → d = log c/log2。

現在,給定一個物體,如果把它的3個拷貝黏在一起,尺度大小會加倍,則按照上述定義,這個物體的維度就等於 d = log3/log2 = 1.44427…… 這當然就不是整數了。更一般地,如果把一個 d 維的超立體的尺度變成 a 倍時,需要 c = ad 個拷貝,那麼 d = logc/loga,這個超立體當然就是一個碎形,而這個 d 就是所求的碎形維度。

以上是傑出數學家史都華在他的數學科普著作《數學的問題》(The Problems of Mathematics)中的說明。我們再引述日本數學家小島寬之如何「用小學數學看碎形」。他先是「以 4 個縮小為 1/2 規模的正方形會組成原來的正方形」為切入點,再考慮「8 個圖形X的 1/2 縮小圖可以組合成圖形X」的問題,最後則以史賓斯基地毯為例,說明碎形維度的意義。

令史賓斯基地毯是S,則把 8 個S的 1/3 縮小圖黏在一起或拼排起來,會成為原來的S。現在,假設S的維度是 m,則下式成立(其中等式右邊的 1 代表S的面積):

(1/3)m + (1/3)m + (1/3)m + (1/3)m + (1/3)m + (1/3)m + (1/3)m + (1/3)m = 1

如此一來,8 × (1/3)m = 1,兩邊取對數,便可得 m 大約等於 1.89。由於這個維度比 2 維低,因此史賓斯基地毯沒有「面積」,因為在初等數學中,圖形必須有二維才能計算面積。

同理,小島寬之也計算了考區曲線的維度大約等於 1.26。由於這個維度比 1 維高,因此考區曲線不是「線」,可是它也離二維(平面)很遠,所以它稀稀疏疏地散布在平面上,維度比史賓斯基地毯的維度低很多。無怪乎看起來,考區曲線相對於史賓斯基地毯,所謂的「朦朧感」或「覆蓋率」的確有明顯的差別。

正方形或圓形的周界與它們內部或外部之間,顯然可以切割得清清楚楚,涇渭分明,不可能會出現所謂的「朦朧感」,這是整數維度的特性。這種現象也極為自然,以致我們通常習焉而不察!要不是 20 世紀初的數學家造出這些相當「怪異」,甚至被一些偉大數學家視為「病態」的圖形,從而由豪斯多夫尋求定義來描繪它們的特性,今日大概很難想像我們的周遭存在了那麼多的碎形。當然,曼德布洛特的臨門一腳,讓碎形幾何終於堂而皇之地進入了數學的殿堂。

碎形在過去數十年內,已經成為科普寫作的新寵材料。不過,大部分的作品都無法運用淺顯易解的方式,把它的維度說個明白。在本文中所引述的史都華和小島寬之兩人的說明,當然是相當珍貴的例外。究其原因,他們兩位在說明碎形維度時,都不約而同地指出,一般的維度是一種拓樸學的概念,但是拓樸維度(topological dimension)都等於 1 的雪花與圓形,從碎形觀點視之則完全不同。可見,針對碎形維度時,距離結構(metric structure)也應該納入考慮。

數學普及作品介紹了簡易的方法,告訴我們碎形維度怎麼算!這是科普文章值得大力推廣的主要原因。如果大家都只是炫於碎形「令人震撼」的美感,而無從思考碎形幾何的深刻意義,那麼,當科幻小說家創造出一個三又二分之一維的外星生物時,我們大概就難以評估這些生物的行為是否「合情入理」了。

深度閱讀
  1. 小島寬之(2010)用小學數學看世界(陳昭蓉譯),世茂出版社,臺北。
  2. Abbott, E. (2008) Flatland: The Movie Edition, Princeton University Press, New Jersey.
  3. Stewart, I. (1987) The Problems of Mathematics, Oxford University Press, New York.
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