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物理固自然:愛因斯坦的時空觀

愛因斯坦的狹義相對論及廣義相對論澈底改變了人類的時空觀念。本文從幾何觀點,分析愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論,以及其內涵。
 
 
 
空間和時間

地球是太陽系中的一顆行星,太陽則只是銀河系中諸多恆星之一,銀河系又跟其他鄰近的星系組成本星系群,星際空間就如此構成一個多層次的結構。因為光速是有限的,我們能看到的宇宙也有限。宇宙源自於大約 140 億年前的一個很小但熾熱的火球,其間經歷了相變,它在晚近才慢慢地趨於平靜,並形成星系團的結構。今天我們仍可看到它早期的痕跡,那就是溫度大約是 2.7K 的宇宙背景輻射。

以上所述悠久長遠的時間和廣闊無垠的空間,組合成我們生活的宇宙。事實上,宇宙的語義就是時空。從前我們以為三維空間是平坦而無邊際的,而絕對的時間則有如滾滾長河,川流不息地流逝。然而,對歐幾里得平行公設的質疑,導致了非歐幾何的誕生,使人們體會到三維空間不一定平坦,也可能是彎曲的。

另一方面,19 世紀所確立的電磁理論,似乎跟慣性定律相牴觸,使得愛因斯坦思索,若兩者都是正確的,則必須放棄絕對時間的觀念,而承認時間是相對的。在相對論中,時間和空間又結合在一起,構成了四維的時空連續體,萬有引力正是這四維時空彎曲的效應。以下從幾何學的觀點探討愛因斯坦的時空觀念,並介紹相對論的內涵。

歐氏幾何

歐幾里得是希臘數學黃金時代三位代表人物中的一位。正如貝克曼在他的《π 的故事》一書中所說的:「他是每一位出版商所夢寐以求的作者,因為他所寫的 13 卷《幾何原本》是有史以來最暢銷的教科書。單從 15 世紀發明活字印刷以來,就以各種文字出了一千版以上。」這麼重要的一位數學家,我們對他的生平卻認識不多,而且大部分來自西元四世紀拜占庭帝國的數學家普羅克洛斯一段很短的記載。

普氏曾注釋《幾何原本》的卷一,在注釋前有一篇介紹幾何學發展的簡史,其中在介紹了歐幾里得之前的兩位希臘數學家之後,有一段關於歐幾里得的敘述:

略晚於這些人的是歐幾里得,《原本》的作者。在書中他收錄了歐多克索斯的諸定理,增潤了提埃達德斯的發現,而且把前人粗略的證明建立在無可辯駁的基礎上。我們知道他生活於埃及國王托勒密一世的時代,這是因為在托勒密一世時代之後的阿基米德曾提及他。此外,據說托勒密曾問他,要學習幾何有沒有比《原本》更簡單的方法,而他回答說:「幾何沒有皇家大道。」
 
流傳至今的《幾何原本》中,沒有序言,沒有誌謝,也沒有題獻。開宗明義就是第一卷的「點是沒有部分的」、「線只有長度而沒有寬度」等 23 個定義。最後一個定義則是關於平行線的概念:

平行直線是在平面內的直線,向兩個方向無限延長,不論在哪個方向它們都不相交。
 
緊接在定義後有公設和公理各五項。前三條公設「由任意兩點間可作一直線」、「直線可任意延長」、「以任意點為中心及任意的距離可以畫圓」是所謂的「規矩作圖」的基礎。在其後各卷的前面也有相關的定義,但公設和公理只出現在卷一。它們是歐幾里得幾何的基石,其他的定理都建基其上。 這些公設和公理,例如前述的公設以及公理中的「整體大於部分」等,都是簡單和「自明」的。唯一的例外是第五公設:
 
平面內一條直線和另兩條直線相交,若在一側的兩內角和小於二直角,則這兩直線延長後在這一側相交。

在上述的情形中,若一側的兩內角和大於二直角,則在另一側的兩內角和小於二直角,因而兩直線在另一側相交。只有一種情形,即兩側的兩內角和都等於二直角時,兩直線才是不相交(平行)的。從這可知,第五公設的另一等價形式是:
 
過直線外任一點只能作唯一的跟它平行的直線。     (1a
 
因為上述的原因,第五公設一般也稱作平行公設。在整部《原本》內,直接引用平行公設的只有卷一的命題二十九:

三角形的內角和等於兩直角。     (1b
 
以及命題四十七(畢氏定理):

在直角三角形中,兩股的平方和等於斜邊的平方。     (1c
 
事實上,假設其他的公設和公理成立,則上列的任一命題都等價於平行公設。 畢氏定理在座標幾何上有重要的應用。取平面上以某一點 O 為原點的笛卡兒座標,則任一點 P 的位置可以由它的座標 xy 決定。從畢氏定理可知 P 到座標原點的距離 s

s2 = x2 + y2     (2
 
推廣到三維,若取笛卡兒座標系(x, y, z),與二維的情形也是類似的。

關於平行公設的研究

如前所述,《幾何原本》中的公設和公理,除第五公設外,都是簡單和自明的,這使得一些人覺得這公設有予以證明的必要。從公元二世紀的天文學家托勒密起,到 19 世紀初的數學家勒讓德止,不少人都曾做過這樣的嘗試。但不同於《幾何原本》迄立兩千年,這些關於第五公設的「證明」卻都不能通過時間的考驗。因為,在證明中,他們都不自覺地引用了等價於平行公設的命題,這使得證明成為一個循環的推理。

18 世紀初的一位耶穌會神父塞開里是另一位嘗試證明這公設的人,雖然他的證明並不成功,但他的方法卻開展了另一個方向。他嘗試用歸謬法,先假設平行公設不成立,企圖從這導出矛盾的結果。若假設(1b)不必然成立,則有下列的可能性:

三角形的內角和小於 π;
三角形的內角和大於 π;     (3a
三角形的內角和等於 π
 
這分別對應如下所列的(1a)式的推廣:

過直線外一點有不只一條平行線;
過直線外一點沒有任何平行線;     (3b
過直線外一點恰有一條平行線。
 
若三角形的其中兩個角的和等於一個直角,則對應於上述的三種可能性,第三個角分別是銳角、鈍角和直角,我們分別稱這三種情形是銳角的、鈍角的和直角的。塞開里誤以為他證明了前兩種情形不可能,但今天我們知道,這三種情形是沒有矛盾的。 比塞開里稍後的蘭貝爾特繼續研究這問題。若三角形的內角分別是 ABC,蘭貝爾特所得的結果是,在一般的情形下,它們的和跟兩直角的差正比於三角形的面積 Δ

KΔ = A + B + Cπ     (4
 
其中 K 是一個常數,K < 0、K > 0 及 K = 0 分別對應於前述的銳角、鈍角和直角的情形。從這看到,歐氏幾何正是平坦空間的幾何。蘭貝爾特注意到,在半徑是 a 的球面上的幾何正對應於 K > 0 的情形,其中正參量 K = 1/a2。因而他提出,K < 0 的情形可看成半徑是純虛數的球面上的幾何學。

在蘭貝爾特之後,高斯也得到同樣的結果。今天我們稱 K 是高斯曲率,它代表了空間的彎曲度。經過多年的嘗試後,高斯了解到平行公設無法從純思考來證明,而必須以實驗來驗證或推翻。他曾在三個山峰上進行三角測量,山峰所構成的三角形邊長分別是 69 km、85 km 和 197 km。雖然這測量不可能得到跟歐氏幾何的差異,但這可說是人類第一次對空間彎曲度的探索。

黎曼幾何

雖然高斯已經發現非歐幾何的性質,但因為他的謹慎,並沒有公布這些發現。首先公開提出異於歐幾里得的新幾何,是羅巴切夫斯基(N.I. Lobachevsky)。他從假設「通過直線 AB 外一點 C,在平面 ABC 上最少可以作兩條直線與 AB 不相交」出發,導出了一套自洽的幾何理論。這理論的很多性質都迥異於歐氏幾何,如:

三角形的內角和小於 π
半徑是 r 的圓,其圓周大於 2πr;     (5
不全等的相似多邊形不存在;
 
等等。上述結論的定量形式跟一個參數 k = (-K)1/2 有關,因而它對應於常負曲率的空間。稍後,鮑耶也有相同的發現。 高斯對非歐幾何的思考跟他的曲面理論有關。事實上,他在一篇關於曲面的論文中,首先引進了曲率的概念。他認為若把曲面看成三維平坦空間的子空間,則曲率是曲面在各方向彎曲的程度。假設採用曲面上的座標 uv,它們類似於平面上的笛卡兒座標 xy。曲面上在原點附近的一點(u,v)跟原點的距離 s 由下式給出:

s2 = Eu2 + 2Fuv + Gv2     (6
 
其中 EFG 是曲面的(跟座標系有關的)內蘊量。高斯發現,雖然原來他定義曲率 K 是曲面在三維空間中的彎曲度,但事實上 K 可以表示成 EFG 及它們的導數的函數,因而它也是曲面的內蘊性質,跟曲面如何嵌入在三維空間是無關的。這就是高斯的「絕妙定理」。

高斯的結果後來被黎曼推廣到任意維數的情形。黎曼採用了高斯在前述論文中的微分幾何的方法,在高維空間中推廣了高斯曲率的概念,得到今天我們所稱的黎曼曲率。此後他更研究了一般的高維、有可變的任意曲率的空間。這些空間的幾何今天稱作黎曼幾何,歐幾里得和羅巴切夫斯基的幾何都是它的特例。 非歐幾何的發現,使人們了解到空間也許有著比我們所知更豐富的性質。當然,受限於我們的經驗,非歐幾何並不是我們憑直觀所能想像的。

相對論與相對時間

哥白尼日心地動理論的確立,引出了一個耐人尋味的問題:為何我們對地球的高速運動渾然不覺﹖對這問題的思考,導致了人們對慣性定律更深一層的認識。 慣性定律是古典力學的基石。一個封閉體系內的觀察者無法僅憑他在體系內所作的力學實驗判定他到底是靜止,或是以均勻速度運動。但是在愛因斯坦之前的人們以為電磁場並不遵守慣性定律,按這樣的思維,在封閉體系內的電磁學(或光學)實驗應可決定體系的運動狀態,也就是可測量它的絕對速度。這就是邁克耳孫和莫利的光線束干涉實驗的理論基礎。但他們精密測量的結果是,地球的絕對速度是零,這似乎又回到哥白尼之前的地心宇宙體系了,顯然這結果是不合理的。

事實上,雖然地球相對於其他行星、太陽、銀河系中心、本星系群的中心等等,都是以高速在運動,但我們仍能從地面上的實驗歸納出一切物理定律的正確形式。因而愛因斯坦認為,無論對力學或電磁學系統,慣性定律應都有效,因而所謂的「絕對速度」是沒有物理意義的。他把這推廣的慣性定律稱作狹義相對性原理:

相對性原理(推廣的慣性定律):物理定律的形式,包括其中的物理參數,不因物體或觀察者(參考系)的勻速運動而改變。
 
把這原理應用於馬克士威爾的電磁場方程式,則因為真空中的光速是方程式中的物理參數,它必然是一個常數,這也稱作光速恆定原理。以勻速運動的參考系稱為慣性系,因而上述原理也可表述成「物理定律及其物理參數在各慣性系中有相同的形式或數值」。因為「絕對速度」沒有物理意義,邁克耳孫和莫利試圖測量地球在太空中的絕對速度的實驗,當然不可能得到任何肯定的結果。

前述的物理定律包括了馬克士威爾的電磁理論,而理論中的一個物理參數就是真空中的光速。相距 r 的兩個電荷 q1q2 之間的靜電力 Fe,或兩個磁極 g1g2 之間的靜磁力 Fm,都遵守庫倫定律:

Fe = ke q1 q2r2
Fm = km g1 g2r2     (7
 
靜電和靜磁庫倫常數 kekm 的數值跟電學單位有關,但它們的比值 kekm 有速度平方的量綱,是具有物理意義的。事實上,在馬克士威爾的電磁場理論中,(kekm1/2 正是真空中電磁振動傳播的速率 c。把相對性原理應用於電磁理論,就得到下列的光速恆定原理:

真空中的光速在各慣性系中都有相同的數值。
 
從上述的兩個原理,愛因斯坦推演出他的狹義相對論。上述原理的推論是,我們必須放棄絕對時間的概念,也就是時間是相對的,若物體之間的相對速度不是零,則它們所量得的時間也不相等。此外,它們所量得的對方(沿運動方向)的長度也會不一樣。

長度收縮與時間延緩

一般而言,波動需要傳播的媒介。人們曾假設一種充塞在空間中的介質叫「以太」,做為光波的傳播媒介。當電磁波理論在 19 世紀末被確立後,物體相對於以太的速度也可看成它在絕對空間中的絕對速度。

由於馬克士威爾一篇論文的啟發,邁克耳孫和莫利曾試圖以相互垂直的兩束光波之間的干涉,來測量地球相對於以太的速度,卻得到否定的結果。地球雖然繞著太陽公轉,但在任何時刻相對於以太都保持靜止,這是很奇怪的事。為了解釋上述的實驗結果,羅倫茲和斐茲杰惹提出以下的假設:

運動中的物體在沿運動方向的長度會收縮。
 
當時這假設單純是為了說明實驗的結果,它的理論基礎是在愛因斯坦提出相對論之後才確立的。

按照相對論,從靜止觀察者來看,運動中的物體沿運動方向的長度會縮短,垂直於運動方向的長度則不變。假設物體靜止時的長度是 L,當它沿這方向以速度 v 運動時,靜止觀察者所量得的長度 L' 是:

L' = L (1 −v2 / c2)1/2 = L (1 − (1/2)(v2 / c2) + …)     (8a
 
這小於它靜止時的長度 L。若物體的速度 v 遠小於光速 c,則上式中高於二階的小量可以省略,因而長度的收縮量是:

LL'L = − (1/2)L −(v2 / c2)     (8b
 
這就是羅倫茲和斐茲杰惹所首先提出的公式:

長度的相對改變 ΔL / Lv / c 的二階小量。
 
若取 v 等於地球的公轉速度,也就是 30 km/s,並令 L 是地球的直徑,則長度收縮量 ΔL 大約是 6.5 cm

按照相對論,時間不是絕對的,而跟物體的運動狀態有關。考慮以速度 v 運動的系統 K,例如太空船。一個在 K 內的時計所記錄的時刻,是 K 的原時(proper time)τ。另一方面,靜止系統 S(地面)上的靜止觀察者以他的時鐘量得的時刻,是 K 中的事件的座標時 t。原時時間 Δτ 與座標時時間 Δt之間的關係是:

Δ = Δτ / (1 − (v2 / c2))1/2     (9
 
由於 Δt > Δτ,從靜止的觀察者看來,運動中的時鐘變慢了,這就是時間延緩的現象。若 v 遠小於 c,時間延緩的效應也是 vc 的二階小量。若速度 v 大於 c,則長度收縮和時間延緩的公式(8)和(9)就沒有意義。這說明了真空中的光速 c 是物質的終極運動速度,任何物體的速度都不可能超過它。

四維時空

每一物理事件都有確定的時刻 t 和位置 x,按以上所述,位置的間隔(長度)L = Δx 以及時刻的間隔(時間)Δt 都是相對的,跟觀察者的運動狀態有關。同理,事件的時刻 t 和位置 x 也是相對的。假設 tx 是觀察者 S 所量的值,另一相對於 S 以速度 v 運動的觀察者 S',量得的對應值則是 t'x'。按相對論的公式,在(t, x)跟(t', x')之間的羅倫茲變換(t, x)→(t', x')中,ttx 都有關,x' 也是。若把空間位置擴展至三維的 x, y, z,也有類似的結論。因此,時間跟空間彼此相關,並不是獨立的。

閔可夫斯基指出,時間可看成空間的另一維度,也就是時間跟三維空間共同構成四維時空。若把時間 t 以長度單位量度,定義第四(或第零)維度的座標 x0 = ct,則任一事件的座標可以用四維的向量表示。它跟座標原點的四維「距離」s 可由下式給出:

s2 = −(x02 +(x12 +(x22 +(x32     (10
 
與歐幾里得空間比較,可見 s2 是可正可負的。時間的特殊性表現的對應符號是 -1 而非 +1。具有上列度規的空間,稱作閔可夫斯基空間或閔氏空間。

綜上所述,在狹義相對論中,時間及空間緊密地結合在一起,共同構成四維的閔氏空間,但這四維時空仍是平坦的。物體的運動描出在這四維時空中的世界線(world-line),若無外力作用,則物體作等速度的慣性運動,對應的世界線則是四維閔氏空間中的直線。

假設參考系 S 的座標是(ct, x, y, z),而另一相對於 S 有相對運動的參考系 S' 的座標是(ct', x', y', z'),則這兩組座標之間的羅倫茲變換相當於四維時空中的「轉動」。有物理意義的量不應因這轉動而有實質的改變,而任何物理定律在這兩組座標下都應有相同的形式,這就是相對論的要求。

在相對論中,牛頓的古典力學必須有所修正,因為由牛頓所確立的古典力學是以絕對時間為前提的。例如,物體的慣性質量跟它的速度有關,當物體的速度增大時,它的質量也會隨之增加。另一個重要的推論是,物理體系的能量等價於定量的慣性質量,這就是質能等價的關係。

彎曲時空和引力

狹義相對論僅考慮慣性參考系,而且它無法處理引力場。按伽利略的落體定律,在引力場中,一切物體都以相同的加速度墜落,這是因為物體的慣性質量跟引力質量彼此等價。愛因斯坦把這定律作為他的引力理論或廣義相對論的基礎,稱它作等效原理:

加速的參考系,跟與其對應的、沒有加速但處於引力場中的參考系,在物理上是無法區分的。
 
這跟狹義相對論不同,在廣義相對論中,引力場相當於彎曲的四維時空。這時四維時空的度規不再是如方程式(10)中的簡單形式,而是一般的對稱的 4 × 4 矩陣,它的 10 個獨立的分量就是廣義相對論中的引力勢。扣除 4 個座標變換的自由度,在愛因斯坦的引力理論中,一般有 10 − 4 = 6 個具物理效應的引力勢,這和在牛頓理論中只有一個引力勢的情形不同。物體在引力場中的運動在這四維時空中所描繪的世界線,無論它們的質量是多少,都是距離最小的短程線,因而等效原理自然地成立。

在考慮了引力場後,狹義相對性原理可推廣成如下的廣義相對性原理:

物理定律的形式不因物體或觀察者(參考系)的任意運動(無論是勻速或加速的)而改變。
 
這也可表述成:

物理定律在任意的參考系中有相同的形式。
 
廣義相對論預言了光線在引力場中的偏折,以及行星軌道的進動,其正確性都已由實際觀察所驗證。它也預言了引力波的存在。

在 1905 年愛因斯坦所發表的三篇撼動物理學的論文中,光電效應可能是最有應用價值的,也對人們的日常生活影響最大,他也因此得到 1921 年的諾貝爾物理獎。然而,他的相對論卻是最具革命性,澈底改變人類認知的重要成就,百年以來,依舊刺激物理學家及各色人等的思考。愛因斯坦的狹義相對論及廣義相對論,以及其時空觀,已經成為人類文明不可分割的一部分。
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