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中西數字的奧妙

數字不知從何而起,也不知從何而終,甚至在相鄰兩數之間隱藏著無限細微的數字樓梯,數也數不盡。
 
 
 
人一出生,就注定和數字結下不解之緣,生日、身分證字號 …… 數字一直伴隨在你人生的路上。數字不知從何而起,也不知從何而終,甚至在0與1之間隱藏著無限細微的數字樓梯,數也數不盡。但是就在永無止盡的0到9不斷反覆下,串起了工業的卓越發展,挑起了分秒必爭的商業奇蹟,闖入理性客觀的科學世界,更在文學的巧妙語言中趁虛而入。數字建構了如此宏偉而文明的世界,無論現代或未來,絕對沒有理由拒絕數字的存在,也無法忽視其莫大的影響力。

通常人們關注的數字是它的直覺本質,但漸進發展的結果,則以各種不同的方式展現,包括對數字、運算和它們之間關係的意義、做心算和估算時使用的各種不同數字的變通形式、比較和排序數字、判斷計算結果合理性的數字、分解和組合數字、做為決策參考的分析與統計數字等。

認知心理學家認為數學知識一如其他學科的知識,如閱讀、寫作與科學,可以分為描述性知識與程序性知識。描述性知識涵蓋了一些事實、理論、物件與事件的知識,程序性知識則是知道如何完成事情的知識。數學學得好的學生,在這兩類知識上通常比一般學生略佳。

許多研究也發現數學概念的理解(描述性知識),在使用解題策略(程序性知識)的過程中扮演了重要的角色。在研究數學概念理解的過程中,很多學者發現數字感極為重要。數字感在性質上是一種概念理解的知識(描述性知識),除了是一種重要的數學概念外,它也會影響到數學解題策略(程序性知識)的使用。

數學最重要的基礎在於數字和數字的結構。數字和語言、文字一樣,都是人類思維、行為建構的一種符號、語意,這些載體本身都具有結構、系統及呈現的方式與策略,皮亞傑(Piaget)、維高次基(Vygotsky)等大師都注意到語言文字與數理邏輯的緊密互動關係。紀魯斯(Henry A. Giroux)在其《越界研究》的專書結論中提到「我們需要檢視各種結構」,除了結構之外,更應該重視各系統及因應策略間的概念轉移。

數字的發展
  
在許多古文明的文字記載中,都可以見到其文明中使用的數字表示法。最直接的方法就是一條線代表一,兩條線代表二 …… 但是總不方便以十條線表示十,以一百條線表示一百吧!事實上,有些地區的人一開始只能計算到三,三以上就被認為是很大的量了。人類計數的演進是一部經歷數萬年的歷史。古埃及人和古巴比倫人以不同的圖形表示數字,羅馬人則想出了用一個符號代表五,另一個符號代表十的方法,使得數字的表示較為便利。

而阿拉伯數字的出現,挾其易懂易用的優勢,很快就成為世界共通的數字表示法。阿拉伯數字其實並不是阿拉伯人發明的,而是印度人在約公元 3 世紀時發明的,後來由於東西方的商業往來而傳入西班牙。

在公元 7 世紀時,阿拉伯人征服了周圍的民族,建立了東起印度,西經非洲到西班牙的撒拉遜大帝國。後來,這個伊斯蘭大帝國又分裂成東、西兩個國家。當時兩國的首都非常繁榮,尤其是東都巴格達,匯集了西來的希臘文化和東來的印度文化。阿拉伯人把兩種文化吸收消化,從而創造了阿拉伯文化。

大約在公元 7 世紀左右,有一位印度的天文學家拜訪了巴格達王宮,把印度的天文表獻給當時的國王,也把印度數字 1、2、3、4 …… 和印度的計算方法介紹給國王。印度數字和印度計數法既簡單又方便,它的優點遠遠超過其他的計數方法,很快被阿拉伯人接受,並廣泛傳播到歐洲各國,因此就稱作「阿拉伯數字」了。

而在公元 8 世紀初期,阿拉伯數字也曾經傳到中國,但是當時不被中國人採用。到了 16、17 世紀左右,西洋曆法傳入中國,這時又有人再次介紹和推廣阿拉伯數字,但還是未被普及應用。直到 19 世紀末和 20 世紀初,由於大量翻譯西方的數學書籍,並受到西方文化、科學、教育和經濟多方面的影響,阿拉伯數字才逐漸流行,因此中國普遍使用阿拉伯數字的歷史不算太長。

中國的數字結構

中國數字的表示法是參照了大約在公元前 3 世紀由印度婆羅米(Brahmi)所制定的「命數法」,以四個進位數為一組單位,並以小數點做為分隔,且區分正數及負數,加上十進位法,自成一套博大精深的計量結構體系。可惜國人甚少察覺這套嚴謹四進位的數位架構,當唸一長串數字時,仍然習慣地從右邊最後面的個位數一個一個位數地算上去,從左邊開頭讀出,並加入其間的組單位名稱,相當耗時間、沒概念、沒效率。

正確又具有概念的讀法應該是了解各組單位名稱後,以每四進位數為一組單位,非常有規律地重複 「千、百、十、個」。如此一來,即使十六位數字的讀法也可迎刃而解。

以 9999999999999999 為例,依照四位一進的組單位讀法,可立刻讀出九千九百九十九「兆」、九千九百九十九「億」、九千九百九十九「萬」、九千九百九十九。正如我們依序讀出 16 位數、四碼一組的金融卡卡號一樣,毫不費力,再加上各組單位的名稱,井然有序。其規則是千是第四位數,「萬」是第五位數到第八位數,第九至十二位數是「億」,而第十三位數到第十六位數是「兆」。

至於「兆」再上去依序是「京」(也就是第 17 ~ 20 位數)、「垓」(21 ~ 24 位數)、「秭」(25 ~ 28 位數)、「穰」(29 ~ 32 位數)、「溝」(33 ~ 36 位數)、「澗」(37 ~ 40 位數)、「正」(41 ~ 44 位數)、「載」(45 ~ 48 位數)、「極」(49 ~ 52 位數)、「恆河沙」(53 ~ 56 位數)、「阿僧祇」(梵文 asankhya)(57 ~ 60 位數)、「那由他」(梵文 nayuta)(61 ~ 64位數)、「不可思議」(65 ~ 68 位數)、「無量大數」(69 ~ 72 位數)。

到 68 進位數以上,是一般凡人無法觸及到的極大繁多的超級「無量大數」。而所謂「一日京兆」的意思,就是在一天當中,從 20 位數到 13 位數的榮華富貴化為烏有,意指空歡喜一場。而《西遊記》中孫悟空擁有的「行者變化,一變十,十變百,百變千 ……」,其實不是七十二變,而是指有七十二進位數之多、變化多端、無限上綱、千變萬化的廣妙神通。

以上是愛好冥想的印度人建構出來的博大浩瀚的數位架構,印度人在現象世界中,把數量推展至 7 × 7 = 49 位數的「極」之上。而「恆河沙」、「阿僧祇」等更大、更多的數已是現象界不能夠「看」得「見」的物體,而是如華嚴經中所說的無數的單位(華嚴經中,60 進位數是「阿僧祇」,再由「阿僧祇」乘「阿僧祇」是「阿僧祇轉」,再自乘一次才是接近無限大的「無量大數」)。至於「那由他」、「不可思議」、「無量大數」等,已經是康德(Kant)所謂超乎想像、超乎實體的建構「存在」了。

至於小數點以下的「十退位」,其數位名依次是十分之一的「分」、百分之一的「釐」、千分之一的「毫」,以及萬分之一的「絲」,仍是以四退位為一組單位的結構體系。

「絲」「毫」相對於「千」「萬」不差的精算系統,再縮小依序是「忽」(5 ~ 8)、「微」(9 ~ 12)、「纖」(13 ~ 16)、「沙」(17 ~ 20)、「塵」(21 ~ 24)、「埃」(25 ~ 28)、「渺」(29 ~ 32)、「莫」(33 ~ 36)、「模糊」(37 ~ 40)、「逡巡」(41 ~ 44)、「須臾」(45 ~ 48)、「瞬息」(49 ~ 52)、「彈指」(53 ~ 56)、「剎那」(57 ~ 60)、「大德」(61 ~ 64)、「空虛」(65 ~ 68)、「清靜」(69 ~ 72)。

這 72 退位數的變少、變小,大概也只有悟「空」才有這個能耐,能夠在縮小到 68 退位數而了悟「空虛」,到 72 退位數之後才能夠「清靜」無為。這好比把思維「歸零」,或數學的「趨近於零」。在佛教中,就是要認知一切皆「空」,無我、無欲、無往、無相、無執,達到捨己,看破紅塵,這絕非凡人能夠參悟出的玄奧道理。

中國語文運用之妙,由數位詞可見一斑。大部分凡人看不見的小到何處惹「塵」(第 21 ~ 24 退位數)「埃」(第 25 ~ 28 退位數)之物,就顯得「渺」(第 29 ~ 32 退位數)小,而「莫」(第 33 ~ 36 退位數)須有了。至於第 37 ~ 40 退位數的「模糊」,就更加看不清了,殊不知還可以再縮小到「須臾」之間,再小到 7 × 7 = 49 的 49 退位數「瞬息」之際(或再簡稱為「瞬」間)。

而再更微觀則可小到「彈指」間,再小則時「間」的「間」隔也沒了,就成了一「剎那」。再微小到「大德」,已經不是一般人可以想像的微乎其微了。

印度人並未把時間和空間分隔,位數很大時,原則是以容易看得見的空間為單位,如「秭」、「穰」、「溝」、「澗」、「恆河沙」;位數達到極小時,則是以肉眼難見到的時間為單位,如「須臾」、「瞬息」、「彈指」、「剎那」。太精細的數字中國人不屑理會、不求甚解,甚至嗤之以鼻,認為那些是「微」不足道的事。只有心思細密的人如陸機在《文賦》裡,把時、空交融,呈現為「觀古今於須臾,撫四海於一瞬」,才能感受那種唯微精一、觀微至極的細膩微妙。

中國人採用印度的數位算法,把宏觀的漸大、多,與微觀的漸小、少,分別由小數點(dot)向兩端展開,各有七十二數位,共有 144(12 × 12)位數。兩端各以四進、四退位發展,有規律地呈現「千、百、十、個」四個數位,同時也呈現整齊又規律、對稱的語意。

古云「差之毫釐,失之千里」,清晰地呈現博大的宏觀架構與精深的微觀架構間的對應關係,因為小數點以下的「毫」對應小數點以上第四進位的「千」。第五進位的「萬」,則與小數點後的「絲」對應,是以「千萬」財富對「絲毫」未得,「萬萬」不可對「絲絲」入扣,「萬無一失」對「一絲不茍」,「萬縷穿身」的相反則是「一絲不掛」。宏觀、微觀的大千、小盛世界都是相對應的。

西方的數字結構

西方的數字可以用英文體系為例,它把若干西方不同文明加以融會運用。英文的數位是一套完全不同於中式的系統、結構、概念,以「三進位數」為一單元,並且在阿拉伯數字後面每三進位數加一逗號(,),確也能夠做到一目了然,更精準、更科學的表示效果。

英文的一連串數位因為有「,」區隔,再加上每個單元只有三個數位,所以不必從個位數由右向左一個一個地數上來,再從左向右一路唸下去,只要把每三個數位分成一組,一個都是 9 的十二位數立刻就能唸出來(nine hundred and ninety-nine billion, nine hundred and ninety-nine million, nine hundred and ninety-nine thousand, and nine hundred and ninety-nine)。比 billion(美式十億,英式是兆)再大三位數就是 trillion(美式是兆,英式是百萬兆),再大極多位數就是 zillion,zillions of zillion 已經接近無限大了。

在科學記數上,西方則以希臘字母來取代,如千使用K(Kilo),再大的數分別是 M(Mega)、G(Giga)、T(Tera)、P(Peta)、E(Exa)、Z(Zetta)、Y(Yotta)。英文數位的減少仍依「三退位數」為一單元,與數位的增加屬同一架構。退位數的第一單元是「毫」(10−3,千分之一),再來是「微」(10−6,百萬分之一)、「奈」(10−9,十億分之一),它們對應的希臘字分別是 m(milli)、μ(micro)、n(nano)。

如以長度「米」為單位,分別是 10−3 的「毫米」(millimeter),10−6 的「微米」(micrometer),再小就是目前在半導體中最常提到的 10−9, 的「奈米」(nanometer)。以時間「秒」為單位時,毫秒(millisecond)是千分之一秒,而奈秒(nanosecond)就是毫微秒,數學式可表示成 10−3 × 10−6 = 10−9 因此「奈」就是 10 的負 9 次方(退 9 位數)。

20 世紀以來人類大量使用顯微鏡觀察微生物的顯微結構,日常生活中也經常使用微波爐,並且與現代電腦軟體的代名詞-微軟形影不離,代表「微」這個單位的希臘字母「μ」已是眾所皆知、司空見慣了。

當前人們大量使用的更細微單位「奈」,可說是科技發展的當紅炸子雞,是最有價值的單(數)位名稱。如半導體工業引以為傲的奈米技術,半導體晶圓生產從 0.18 微米(180 奈米)製程精進到 0.13 微米(130 奈米)製程,再進步到 0.09 微米(90 奈米)的先進製程,這種技術已經進入更「微」小的奈米世界,必然需要奈秒、奈克、奈瓦,奈奈必爭的超精密量度了。

數字結構的融合與對照

中西方數字結構各自遵守統一、簡明的規則。由於英文數字是三進位數為一單位,而中文數字是四進位數為一單位,因此中文第五位的「萬」、第八位的「千萬」,在英文數位表示上就得改稱、改名。當我們唸英文時,「千」「萬」不可一味地停留在中文以「萬」計量的概念,「萬」在英文的數位並沒有專屬稱呼,只好改稱十千,再進一位的十萬就唸作百千,「千萬」也應該改唸十百萬,這也可以說是重新建構數位的唸法、寫法。

同理,在微觀的世界裡,絲毫不差的精密計算與絲絲入扣的描述中,也只好僅保留到「毫」的數位。「絲」與「萬」相對應,英文中沒有萬這個單位,自然也就沒有與絲相互呼應的單位,就只好以「十分之一毫」來表示「絲」了,如藥物的計量中以「十絲」克為一「毫」克。

中英的不同數位讀法,如維高次基所提,能同時建構人類腦部的「趨近發展區」。有些人把兩種趨近的語碼(雙碼並存)同時建構在長期記憶區,也就是同時具備雙母語,中英文俱佳。如此一來就好比使用豪華名貴的雙併大樓的雙樓梯,上下樓自然寬敞又方便。但八、九歲以後把英語當第二語言的學習者,就需要清晰、精準地做比較,以便確切了解兩種結構、兩套系統間的異同,再內化為固定而精熟且經常運用的雙架構。

一般中國人遇到唸中英數位都有不三(英式)不四(中式)的困擾,而產生皮亞傑所謂的「不平衡」,這時候就要看讀者中文是否較強,如果中文較強勢,就以中文的分法來統整西方的觀念。如果為了與世界接軌,就必須採用英文的觀念、概念,重新採納全新的組織系統,才不至於不中不西、不三不四、含混不清了。

在「瞬息」「萬」變的時刻,「萬」這個數位引申的概念、觀念、制度、系統漸被廢除,如萬歲爺、萬萬歲,或如馬來西亞華人把原來中印的「萬」改稱 「十千」,十萬改稱 「百千」,百萬為「千千」。

然而「萬」自從由印度佛教傳到中土,就開始漸漸鎔鑄為中華文化的一部分,攸關「萬」的成語,千「萬」或「萬萬」不可一併廢除,因為可能同時失去「萬」事如意、「萬」眾一心、「萬」無一失、心游「萬」仞(《文賦》),而換來「千」瘡百孔、「千」奇百怪的心有「千千」結。治「絲」益棼指一件事情被處理得越來越複雜,而在「微」觀世界裡,「絲」相對應於「萬」,這種小或少到萬分之一,已經沒有頭緒了,再精密細分為「微」(百萬分之一)、奈(十億分之一)就更加無可「奈」何了。

從事改造,理論與方法固然重要,心態似乎也很重要。今天,我們面對的很多問題常常是以前如此、現在也如此,很少去問為何如此,有此必要嗎?還合適嗎?如果繼續以為農業或工業社會設計的觀念與想法,面對要在 21 世紀資訊社會中過大半輩子的下一代,合適嗎?

然而捨棄過去一些不合時宜的傳承,會不會讓我們失去更多呢?就如中共文化大革命的中文簡體化,以及現今e世代使用的火星文,是否會使許多中國文化與文字藝術之美流失,喪失了承先啟後、繼往開來的功能?不三不四的數字使用方式,或者重新建構一套全新的數字架構與規範,是否也會降低了我們的數字感度和文化涵養?這是值得深思的問題。
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