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以我的身高為準!

數學知識成長的某些動力,源自對於「異例」如 0,√2 ,√-1的消融與吸納,而不是想當然耳的直線累積,在歷史認識論上,實在很具有教育意義。
 
 
 
身高可以互相度量

本學期,我在一門與本系同事合開的「數學活動與思維」課程中,準備和學生討論「公度量」的相關問題。過程如下:先說出我的身高是 174 公分,然後,請某位同學也說出他的身高,如 178 公分。再讓學生思考,若以「1 公分」作為一個共同的度量單位,那麼,我的身高和那位學生的身高,就可以公度量了。亦即,我們兩人的身高可以用同一個度量單位,同時來「量盡」。

接著,我在黑板上任意畫出兩條線段,再詢問學生:這兩條線段是否可以「公度量」,亦即是否存在一個「度量單位」,譬如 u,使這兩條線段的長度分別可以用度量單位 u 量盡而沒有剩餘。換句話說,可以表示為 munu,其中 mn 都是正整數。結果,認為「是」的占絕大多數,只有少數回答「不是」或「不一定」。有一位認為「不是」的學生他的解釋是:如果以正方形的一個邊長與對角線,這樣的兩條線段來思考,則任意兩條線段就會是屬於「不可公度量」的情況了。

不可公度量與 (2)1/2

一般熟悉初等數學的讀者,都知道上述那位學生,是利用「對角線與一邊之比」為 (2)1/2 的角度來思考問題。在正方形 ABCD 中,AB 為其一邊,AC 為對角線,如果 ABAC 可以公度量,則設 AB = pvAC = qv,其中 v 為某度量單位,pq 都是正整數,那麼,AB : AC = pv : qv = p : q。這也就是說,p/q = p : q = (2)1/2 : 1 = (2)1/2,如此一來,運用歸謬法(或間接證法,或反證法),就立刻可以導出矛盾的結果,而證明出:

ABAC「不」可以公度量!

其實,上述提到的歸謬法就是高中數學課本中「(2)1/2 是無理數」的典型證法。此種證法,很接近亞里斯多德所提示的方法,只不過在「修辭」方面稍有不同,說明如下:

ABAC 分別是正方形 ABCD 的一邊與一對角線。假定 ACAB 可以公度量,令 AC : AB = a : b,並且 ab 沒有大於 1 的公因數。由畢氏定理可知,AC2 = 2AB2a2 : b2 = AC2 : AB2 = 2AB2 : AB2 = 2 : 1,因而 a2 = 2b2。如此一來,a2 是偶數,連帶地 a 也成為偶數。現在,既然 a 是偶數,那麼不妨假設 a = 2c,則 4c2 = a2 = 2b2b2 = 2c2,如此一來,b2b 則都必須是偶數,可是當 ab 都是偶數時,則又與 ab 沒有大於 1 的公因數相矛盾!因此,ACAB 不可公度量。

經過上述的對比,我們可發現:兩種證法,實質上是相同的,只不過,第二個證法不涉及 (2)1/2 是無理數的觀念,所以,應該是人類較早期的思考模式。由此,我們也可以推知:古希臘人應該不具有「無理數」的觀念,而只有兩個或多個同類的「幾何量」是否可以公度量的思考。如果他們發現是不可公度量的情況,則在處理時,就有可能不用數目來評比了。因此,古希臘人設法利用其他的方法來處理不可公度量的問題,就可以是一個合理的推論了。

兩無等幾何與兩無等數

請先參考節錄自歐幾里得《幾何原本》第十卷第二命題:

大小兩幾何,輾轉相減,而所餘幾何俱不度原幾何,則為兩無等幾何。

為了讓讀者清楚了解命題的意思,我將上述命題的證明,改用代數符號表示。假設這兩個「幾何量」(譬如「兩個線段」好了)分別為 aba > b,那麼,經過「輾轉相減」,得 a = pb + cb = qc + dc = rd + e …… 等等。如果,此一步驟無法終止,也就是說,餘項始終不為 0,那麼,就表示這兩個幾何量為「不可公度量」。如果不是,則再假定 ab 的公度量為 f,則 f  可以量盡 apb = c,從而可以量盡 bqc = d,乃至於 e 等等。由於上述輾轉步驟始終不能窮盡,所以,一定會有一個餘項(比如 e)比 f 來得小,f 可以「整除」eef。這顯然不可能。

如何將「度量」數學化?

史家湯馬斯.希斯(Thomas L. Heath)在他的《歐幾里得幾何原本十三冊》(Euclid: Thirteen Books of the Elements)中,介紹了一個取自喬治.克里斯托(George Chrystal)編寫的代數教科書中的一個方法,充分反映了本命題及其證明中極為濃厚的「程序性」色彩,令人印象深刻。

da 分別是正方形 ABCD 的對角線與一邊,在 AC 上截一點 F 使 AF = a,畫 EF 垂直 AC 並交 BCE

用畢氏定理很容易證明:BE = EF = CF。並且

CF = ACAB = da ………………… (1)
CE = BCCF = a-(da) = 2ad  …… (2)

假定 da 可以公度量,不妨設 da 都是某一個共同度量單位 u 的正整數倍。由(1)(2)可知 CFCE 都是 u 的整數倍。 現在由於 CFCE 分別是正方形 CFEG 的一邊與對角線,而且此一邊較原正方形 ABCD 的邊的一半為短。令 a1d1 為正方形 CFEG 的邊與對角線,則

a1 = dad1 = 2ad

同理,我們可以選一個正方形分別以 a2,d2 為邊 與對角線,它們都分別小於 a1d1 的一半,同時由於 a2 = d1a1d2 = 2a1d1,所以 a2d2 也都是 u 的整數倍。依此類推,我們可以推得一個要有多小就有多小的正方形,而它的邊、對角線也是 u 的整數倍,這顯然不可能,因為單位 u 的整數倍不可能任意小!
 
若將上述證明策略的「翻譯」改寫,且模仿歐幾里得的《幾何原本》第十卷第二命題的證明:喬治.克里斯托先利用「邊」BC 為「尺」去度量「對角線」AC,結果剩下「量不盡」的 CF。其次,再以這一個 CF 為「尺」去度量 BC,結果去掉 BE 之後,還剩下 CE「量不盡」。現在,再將這種「輾轉互相度量」的作法,應用在較小正方形 CFEG 的「邊」CF 與「對角線」CE 上。依此類推,則一開始若 BCAC 可以公度量,則將導致矛盾,則是因為如圖中的正方形可以愈作愈小,但是,這種情況對於前所設定的「公度量單位」u 之整數倍,卻不會發生。

這種「輾轉(互相)度量」的想法怎麼來的,我們目前還無法確定。在日常生活中,公度量的觀念看起來有一點不可思議。一般而言,度量都需要一個標準單位。任意給兩個線段,然後考察它們是否可以公度量,這種問題很像是人類故意捏造出來的。但也可能在某些族群的文化中,人們非得這樣做不可,古代希臘人應該就是此種情況吧! 利用這種「輾轉相(除)減」來計算兩個正整數的最大公因數的步驟,不僅是出現於古代希臘的《幾何原本》中,中國古代《九章算術》,也出現類似的版本,兩者不同之處只在於後者用了「約分」:

約分術曰:可半者,半之。不可半者,副置分母、子之數,以少減多,更相減損,求其等也。以等數約之。

此一方法,根據考證,在公元前186年西漢初的《算數書》就已出現。但在數學脈絡中處理「公度量」的問題,還是以古希臘歐幾里得的《幾何原本》中的論述最為完整。

人是萬物的尺度?

公元前第五世紀,希臘辯者普魯塔格羅斯曾經宣稱:「人是萬物的尺度」。這種觀點,大概也呼應了畢氏學派所主張的「萬事萬物,都可以表徵成為數目的比(ratio)」。正因為如此,所以,「ratio」 對應的希臘字「logos」,就成了「可以表達」的意思了,從而「可公度量」顯然就成為古希臘人的日常用語了。不過,萬一我的「尺度」與某一個線段是不可公度量,它們以一種「非比」(ir-ratio)關係存在,那麼,運用我的「尺度」,就無法表達這一個線段的長度了。古希臘人稱這種情況為「alogos」,也就是缺乏文字可以表達的意思。

在「不可公度量的比」尚未出現之前,畢氏學派可以說是自信滿滿,總認為利用「比」的概念,就可以理解整個宇宙了。其實,這種手法也反映在他們對美學的研究上。譬如「美」對於他們來說,就是有很好的比例關係。無怪乎,他們會對「黃金分割」的比(約等於 1.618)會那麼執迷了。

希臘人(尤其是畢氏學派)這種以人類為中心的「偏執」(「我執」?),在「不可公度量」出現之後,就很難再堅持下去了。於是,繼之而起的柏拉圖學派,就勇敢而率真地提出並面對愈來愈多的「不可公度量」的事件。門徒中的希兒特斯與尤德克瑟斯也因而成功地發展出一套比例理論,最後,再由歐幾里得總結了古希臘人在這一方面的研究工作。

然而,從「不可公度量」到「無理數」,其實是漫漫長途,前後延續了約兩千年之久!這一則數學故事的完結篇,恰好也見證了像 (2)1/2 這樣的無理數,終於取得了「數目共和國」的公民資格。

數目共和國

在《從零開始》一書中,作者卡普蘭以「數目共和國」作比喻,來說明數學家最終如何將「零」納入為一個「合法的」數目。他的說明十分動人,在此引述供讀者共享:

數(目)共和國遠比語言或理念的世界要來得保守。它就像瑞士一樣不樂意接納新成員,又像黑手黨一樣,一旦宣誓加入,就別想脫身。以無理數為例,最初它們曾被畢氏學派視為罪惡的秘密,而它們在揭曉後,也徹底動搖了希臘人的信心。但是,兩千五百年之後,我們已經不能沒有無理數,即使它們的存在意義至今仍有爭議。至於虛數呢……現在它們已經跟實數在數(目)共和國的街道上共處,不會再引人側目,不過它們仍具有其名稱的特徵。

卡普蘭還特別強調:「數(目)共和國的特色在於,如果某物要成為一個數(目),它就必須要能和現存的數(目)來往,至少要能和它們寒暄。它必須要能與其數(目)以常見的方式結合。」這種看法,可以呼應數學教育家安娜.史法所說明的數學概念之一體兩面–運算性格與結構性格,亦即:某物在取得「數目」的身分(「結構」)之前,通常都必須積極地參與各種「運算」——或許這就是被接納成為公民的條件之一吧!

事實上,數目 (2)1/2 乃至於複數或虛數 (-1)1/2 歸化成為這一個共和國的新移民,過程也相當類似。針對後者,我曾以梁山泊盜匪最後被宋王朝招降,來比喻虛數如何被分封「領地」(亦即提供邏輯基礎),最後才使它的地位獲得數目王國的正當性:

複數在形式化之前,是由於在科學上「有用」才逐漸被數學家接受的。這種現象實在很像宋王朝「招安」梁山泊好漢,既然消滅不了他們又用得著他們,只好封他們做官,為它們尋找合理化的基礎。由於威廉.漢彌頓(Sir William Rowan Hamilton)的奮鬥,數學家王朝最後才「被迫」承認複數的合法地位。

無論是數目共和國也好,數目王朝也好,上述例證都可以說明數學發展的一個非常重要的事實,那就是:新的(數目概念)成員的加入,經常都不是事先規劃的結果。儘管數學家領袖都被迫對這些偷渡客或叛逆的盜匪進行大赦,然而,最後的最大受惠者,還是整個共和國或王朝。數學知識成長的某些動力,源自對於「異例」如 0,(2)1/2,(-1)1/2 的消融與吸納,而不是想當然耳的直線累積,在歷史認識論上,實在很具有教育意義。

以我的身高為準,本來是古希臘人想當然耳的一種宇宙觀。然而,與此呼應的數學研究,卻發展出「可公度量」,以致於「不可公度量」的問題。儘管歐幾里得在他的《幾何原本》中並未證明正方形的邊與對角線不可公度量,但是,該書第十卷對於不可公度量的處理,恐怕還是帶給後世數學家處理無理數時,很大的啟發。其實,整個數學史的基調無非是「數目」與「幾何」的分合恩怨,而揭開此一序幕的,則非古代希臘人莫屬。 不僅如此,我們現在轉述這一段歷史插曲,仍然覺得古代希臘人以嚴密的邏輯論證作後盾,將日常生活經驗轉化成數學語言的操作,是極高的智慧,值得我們學習與模仿。至於畢氏學派的宇宙論主張,儘管由於「不可公度量比」的意外現身而無以為繼,不過,卻觸及了「數學哲學」的最根本問題,也就是:我所任意「畫」出來的兩條線段「不一定」可以公度量—「是」與「不是」之外的第三種答案!這是因為我所「畫」的線段,並不是數學家或柏拉圖所謂的線段。這樣一來,如果有人說:「我不知道我「真正」的身高多少?」或者甚至於說:「我的身高等於 (3)1/2 公尺!」恐怕我們也只有尊重了。只是,必要時說出一個「有意義的」近似值,或許是一個公民的應盡責任與義務吧!

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