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萬有引力

萬有引力是一種看不到、摸不著、無所不在,且無遠弗屆的力,它與我們的生活息息相關,宇宙中的天體也在它的法則下運行。
 
 
 
科學啟蒙前的渾沌時期

在西方,亞里斯多德的學說最早把重力的現象解釋為「物質會找到其自身應有位置的本性」,所有重的東西會往下掉,輕的東西會向上升;另外,托勒密的宇宙觀主張地球是宇宙中心。學者因此把二者的看法結合起來說:「重物會往宇宙中心掉,輕盈物體則會往上飄」。

至於「天」的概念,它包含著許多層,每一層中鑲嵌著許多天體,一同圍繞著宇宙中心旋轉。這樣的想法讓信奉這類學說的人都相信,所有天上的東西都是聖潔的、光輝的、輕盈的,而地上的物質則是相對污濁的、晦暗的、沉重的。

不過到了16世紀,哥白尼提出日心說的模型之後,可以漂亮、簡單地解釋周日運動和星空周年的天象變化,但也引發了兩個問題。其一,是什麼力量能驅動巨大的地球與天體運動?其二,在哥白尼之前的理論主張較重的物體會傾向於掉向地的中心,因為這是宇宙的中心。但是如果換成地球圍繞太陽運轉的說法,就不能再把地球視為宇宙的中心,那該如何解釋重物仍往地球方向掉的現象呢? 

這些問題在16世紀時辯論得很激烈,人們在認識到天體運行的規律性時,也希望能找出真正的原因。當時有位學者叫作波以耳,他認為重力是由大氣壓力所造成的。

不過在那個時期,是以一位名叫吉爾伯特的學者所提出,地球與天體間的運動是由於「磁力吸引」的說法,較受到其他學者的支持。他認為由於磁力互相吸引,因此天體會繞行旋轉。這種力和物質的分量及特質有關,分量越多、特性越強,彼此間的「磁力」也會越強。吉爾伯特也用「磁力」來解釋月亮對地球潮汐的影響,以及為何月亮會以同一面朝向地球的原因。

當時的很多科學家都受到這種「磁力相吸」觀念的影響,包括法蘭西斯培根、虎克、刻卜勒等人。其中刻卜勒就是那位從他的老師第谷那裡,獲得記錄二十多年的行星軌跡資料,經過數學分析之後,得到行星運動三大定律的那個人。行星運動的三大定律內容分別是:

行星繞日旋轉的軌道是個橢圓形,太陽位於橢圓的其中一個焦點上;
行星到太陽的連線,在單位時間內掃過的面積是一樣的;
行星繞太陽公轉的周期平方和其橢圓軌道半長軸的三次方成正比。
 
刻卜勒從行星距太陽遠近不同其速率也不同的現象,推斷太陽本身對行星有一種「吸引力」。刻卜勒在解釋這種力時認為,這種磁力是藉由光線發散出去的,在太陽的帶領下引導周圍的行星繞太陽公轉,這種影響隨距離遞減。不過刻卜勒認為這種力並非瀰漫於整個空間,而是僅對太陽系的行星作用,其作用方向是在後面推著軌道上的行星跑,在距離遠時這力量是把行星推向太陽,但是距離近時則是把行星推離太陽。

他也了解到天體間的吸引力是互相的,二者雖然相等,但是這種吸引力對於較大的天體影響較小,對於較小的天體影響則較大。例如地球的體積大約是月亮的49倍,所以月亮會受到比較大的影響。本來,相互吸引的二個物體,吸引力會把它們拉近到相撞,然而因為本身具有的速度,導致二者繞著太陽運行,而不致發生與太陽相撞的情形。

刻卜勒雖然把太陽本身的球形,也歸因於太陽本身吸引力的緣故,但是他並沒有把恆星間也想成有這種力,因此在他的理論中,還沒有建立「萬有」引力普遍存在的觀念。

至於笛卡爾則提出所謂的「渦流理論」,在他的理論中有2個基本假設:自然界厭惡真空,以及力一定要藉由物質的接觸才能傳遞。在他看來,由於太陽本身的自轉帶動周圍物質旋轉,形成渦流後再影響到周遭的行星,因此靠近太陽的行星旋轉快,距太陽遠的旋轉較慢。在局部地方又有較小的渦流,例如像地球與月亮的衛星繞行星系統。雖然這種渦流理論計算十分複雜,當時沒有人有能力把它寫成數學式與事實驗證,但還是獲得很多學者的支持。

再有一位學者叫柏努利,他也是追隨刻卜勒想法的人,認為太陽發散出一種力推著行星在軌道上跑,他還進一步說:「如果沒有軌道上的離心力做為平衡,行星最後會掉落到太陽上面,這是物質的一種自然天性。」隨後又有惠更斯在研究單擺運動時,發現了向心力和切線力的作用,因此可以把它轉化成為數學式,對單擺運動做出精確的計算。

綜觀以上學者所提出的各項看法,對於今日我們所熟知的「萬有引力」,其中的各項元素幾乎都具備了。很多學者或多或少都有一些想法在其中,但是由於對「運動」和「力」的這些概念還不清楚,因此很難澄清每項看法中的一些疑點。還好有位科學家除了善用思考之外,還把物理世界的問題落實到實驗的觀察分析上,這個人便是伽利略。

伽利略的貢獻

當年伽利略透過望遠鏡看到太陽有黑斑、月亮上有高低起伏的山脈、金星像月亮一樣有盈虧等現象時,讓他重新審視天體是否真的「聖潔」、「光輝」。在觀測木星時,他看到幾顆月亮圍繞著木星轉,這也讓他找到地心說「所有東西都繞著地球旋轉」的反例。

不過當這些內容寫在《兩個世界系統的對話》一書中後,他開始受到教會的注意。為了禁止「他誣蔑天體,打擊善良風俗」,教會於是限制他以後觀察研究的對象,不能再是天上的東西。伽利略便轉而開始注意物體掉落的現象,這一轉變使他推論出2個對科學發展影響深遠的看法。

對自由落體的分析 根據亞里斯多德的理論,自由落下的物體輕的速度慢、重的速度快,但是這種說法被伽利略以簡單的「思考實驗」推翻了。

按照亞里斯多德的理論,假設重m 的物體自由落下到地面時的速度是v,另一個重m 的物體由同樣高度落下到地面時速度也是v,但是另外一個重量2m 的物體因為重量大,所以落下時的速度V 會大於重量m 的v。

不過伽利略想到一個另外的情況:如果現在把2個重m的物體靠得很近一起放下,那麼落下的速度究竟該是個別的 v,還是重量增加後的 V?伽利略認為原本2個速度比較慢的物體,把它們放在一起後沒有道理會讓速度增快,因此他得出「物體自同高度自由落下時,無論重量大小其速度都一樣」的推論。

除了定性的思考之外,他還希望能測量出實際的數值,因此便設計實驗:他讓球從斜面上滾下,以「稀釋」掉重力的作用,使落下速度變慢以方便測量。他發現無論斜面如何傾斜,球都做等加速度運動,他測出地球表面的重力加速度是32英尺/秒2(9.80 m/s2),這一結果與現在的通用值相當接近。

對慣性的認識 伽利略還根據自斜面滾下的物體來思考物體的「慣性」。沿斜面滾下的物體,隨後又逆勢滾上另一個斜面時,如果沒有摩擦力,它就會達到與原來相同的高度。但是,伽利略關心的是一個極端狀況:如果從斜面滾下後,緊接著是一個水平的平面,那球會滾到何時停下來?從不同仰角的斜面可以看出,球爬升到原高度時,斜面仰角愈小球在斜面上滾動的距離愈長,因此球應該不會停下來,會一直前進!

如此一來球的速度會有變化嗎?伽利略想:沿著斜面滾下的球速度會越來越快;逆勢滾上斜面時球的速度會越來越慢;那水平滾的球,就該保持等速嘍!當球沿著水平方向運動不受水平力作用時,它在水平方向的速度就不會改變。

不像一般人認為靜止是物體不受力的常態,伽利略可能是最早對物體運動如此深刻思考的人。他從斜面上運動的情況發現運動是物體的自然狀態,而當對運動中的物體另外施力時,所改變的是物體的運動方式。

伽利略還分析了拋體運動的軌跡,他把運動分成二個方向去探討,通常可以區分為水平與垂直二個維度來看,水平的分量在運動過程中始終維持不變,至於垂直分量則會受到重力加速度的影響。這樣描繪出的軌跡就是「拋物線」,它代表的是一條歷時最短、距離最短的路徑。

牛頓的集大成

對於天體運行以及物體會掉到地面這些現象的研究持續進行著,直到17世紀牛頓的出現,他集當代研究的大成,並把想法寫在1687年出版的《自然科學的原理》一書中。

他以伽利略的理論為基礎,解釋自己對運動和力的看法。他也利用刻卜勒的行星運動定律做進一步的計算,發現太陽拉行星的向心力與行星到太陽的距離平方成反比。他也懷疑,是否這種情況對地球與其周遭東西的關係上也適用,經過計算後發現,與地球到月球之間距離平方成反比的吸引力,就是維繫月球繞地球公轉的向心力。

這種力應該像磁力一樣可以隔空作用,但是又和磁力僅存在於某些磁性物質之間的獨特性不同,它似乎無所不在,或許可把它視為物質的本性,但是又無以名之。因此牛頓另外給它起了一個名詞「萬有引力」。這個力除了和兩個物體之間的距離平方成反比,也和二物體的質量乘積成正比,牛頓經過了複雜的推演和細心的驗證,甚至還為此發明了複雜的微積分,最後寫出了一個簡單的數學式,來表示這種物質間的超距力關係。

F=GM1M2/R2

上式中的M1和M2分別是二物體的質量,R是其間的距離,G是一稱作萬有引力常數的比例常數,它的值是

G = 6.67 × 10-11 kg-1m3s-2

天體計算上的牛刀小試

當牛頓提出這個簡潔的式子之後,西方科學家不斷嘗試利用這個關係式來驗證天體的運行。哈雷據此計算出一顆彗星的軌道,因而了解它是一個周期76年的彗星,他不只從歷史的記載上找到這顆彗星多次回歸的芳蹤,並預測它將會在1758年再度回歸。果真到了1757年的聖誕節,那顆彗星如期出現,人們就把這顆彗星命名為哈雷彗星以資紀念。

自望遠鏡發明後,科學家在觀察於1781年新找到的天王星的位置時,發現它繞行太陽的運轉並不完全符合萬有引力的計算。當時科學家有二派。一派認為萬有引力並非「萬有」,而是只在「地域」所屬的太陽系中才有效,無法適用於所有的情況,天王星到太陽的距離是地球到太陽的19倍,這已經是到了太陽系的邊緣,正是由於這種影響消退所造成的現象。

另外一派則認為,可能是有別的尚未被了解的天體同時對天王星有些微引力的影響所致,導致天王星的運行軌跡不能僅從太陽與已知的行星去預測。

1843年時有位24歲的劍橋大學研究生亞當斯,以尋找未知天體的立場,利用萬有引力來計算能對天王星運行產生影響的未知天體可能存在的位置,他花了2年的時間,在1845年的10月算出結果,並把結果寄給英國皇家協會的喬治艾瑞。艾瑞起初抱著懷疑的態度,並不相信這位年輕人的計算結果,稍後等到艾瑞把這事稟報給皇家天文臺臺長查利斯時,又因為當時手邊沒有精確的星圖可以做仔細的搜尋,就把這事擱了下來。

幾個月後,另外一位法國天文學家拉維赫,也獨立計算出近似的結果,他和亞當斯的結果僅僅差1度而已。他把這些內容寄給柏林天文臺的佳雷,信在1846年的9月23日收到,佳雷手邊有當時最好的星圖可供其一一對照,當晚佳雷便看到並確認這顆晦暗的天體,也就是後來稱作海王星的星體。

雖然海王星發現的過程頗為曲折,英法二國也曾為這件事爭論,誰才是第一個發現海王星的人,但是無論如何,這一發現代表了牛頓萬有引力理論的成功,它的適用範圍又向外跨出了一大步。時至今日,萬有引力不僅在太陽系中有效,也適用於更大的尺度,諸如銀河系中的星體互繞,甚至星系間彼此的作用,萬有引力仍是其中最主要的考慮因素。

引力的種種影響

想要認識這種力嗎?這種普遍萬有的力,不會在你我生活中缺席。你的體重,就是因為你受到地球拉你的萬有引力作用,如果沒有這種力,每個人都將會「坐」「立」難安,連睡覺都會飄浮在空中,看看太空人在微重力影響下的活動便可了解。假使有可能讓我們到其他天體上去,屆時體重會變的和地球上不一樣。有的天體上會輕如鴻毛,有的天體上則會重如泰山。至於為什麼感受不到周遭其他物體對我們的引力呢?這是因為和地球相比,其他物體對我們的作用力都顯得太小,全都可以忽略。

我們生活在地球周遭的大氣中,這些大氣也是因為地球對氣體的吸引力,而把它們保留下來的。不過地球的引力並不算太大,因此質量較輕的氫、氦等氣體還是會飄散出去。至於月亮,它的引力是地球的六分之一,就無法抓住氣體,因而月球上並無大氣。

萬有引力也會增加我們和太空訪客—隕石撞擊的機率,地球的引力導致平均約6千萬年會被直徑約十多公里的隕石撞擊一次,目前猜測這種撞擊可能會招致地球上生物的大規模毀滅,例如6千5百萬年前的恐龍滅絕,便很可能是這種原因造成的。相較之下木星的引力更大,它在太陽系中扮演著吸塵器的角色,可以吸引比較多的隕石。如果太陽系中沒有木星,地球遭遇上述毀滅性撞擊的機會會提高一萬倍,平均約6千年就會發生一次撞擊,這對生物的演化而言是相當不利的。

萬有引力定律的發展到了牛頓可謂登峰造極,世界好像變成一個大機器,一切都有定數。可是當這個理論在科學家心目中建立起牢不可破的地位之後,許多預測上的小誤差也讓追求精益求精的科學家感到困擾。後來愛因斯坦的廣義相對論推出之後,改採另外的角度來思考「萬有引力」,他認為質量會造成空間的扭曲,所謂「引力大」代表著空間扭曲量大,引力小則空間近似「平坦的」。當光經過扭曲的空間時,不再遵循直線前進的法則,而有其特定的偏折路徑。

雖然這種從「幾何空間」來解釋的說法,與之前「二物相吸產生引力」的觀念非常不同,但是計算結果二者大都非常接近,略有差異的地方則是牛頓敗陣下來,這包括了水星近日點的進動量、利用日食測量太陽附近恆星的位置等。這下可讓科學家領教到「登高山復有高山,出瀛海更有瀛海」,科學的進展著實讓人大開眼界。

萬有引力看不到、摸不著,但是它的作用從周遭事物到遙遠天際,影響所及包括身邊的現象、太陽系的環境,甚至還可能決定宇宙最終的命運。透過對這個議題的了解,可以認識到科學的發展是從渾沌而逐漸清楚,從直觀描述進而分析預測,同時了解到當探索對象更加擴大時,舊有的理論可能面臨修正或挑戰,科學家永遠都要用開闊的胸襟去面對難以預料的發現。
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