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小巧的音樂盒暗藏玄機——共振駐波

用手轉動小巧的音樂盒,音樂盒就會演奏美妙的音樂,這是如何運作的呢?將音樂盒拆開一起研究其中的構造及原理吧!
 
 
 
老師手中有一個音樂盒。轉動手搖桿,音樂盒就會演奏韋瓦第的名曲「四季」。
 
將音樂盒拆開研究其中的構造及原理,可以看到音樂盒內有一個可轉動的金屬圓柱體。圓柱體表面有許多凸出的顆粒。圓柱體旁有許多不同長度的金屬片。金屬片一端固定在金屬板上,另一端可自由振動。轉動手搖桿使金屬圓柱體轉動。圓柱體表面的凸出顆粒撥動金屬片自由端使金屬片振動發出聲音。
 
圖二。
▲圖二。
 
在之前的單元中我們介紹過駐波。二振幅頻率相同但行進方向相反的波干涉後產生駐波。在無邊界的介質中,駐波頻率可為任意值。但是在有邊界的介質中,只有滿足共振條件的駐波才可存在。此種駐波稱為共振駐波共振駐波滿足共振條件 
 
公式(1)。
▲公式(1)。
其中 f 為共振駐波頻率,v為波速,L為介質長度。
 
音樂盒中的金屬片一端為固定端另一端為自由端。我們用下圖說明金屬片振動發聲的物理機制。金屬片長度為L。在某時刻對金屬自由端施向上外力,使自由端產生一波峰向左傳遞。波峰到達固定端對金屬板施向上力。金屬板對波峰施向下反作用力,因此波峰反射為波谷。波谷向右傳遞到自由端,對自由端施向下力,因此反射波仍然為波谷。
 
圖三。
▲圖三。
 
所以波峰在金屬片上來回一次回到自由端成為波谷。波谷向左傳遞到固定端,對金屬板施向下力。金屬板對波谷施向上反作用力,因此波谷反射為波峰。波峰向右傳遞到自由端,反射波仍然為波峰。
 
所以波峰在金屬片上來回二次回到自由端又反射成為波峰。此時如果外力產生一個新的波峰,新的波峰與反射波峰重疊產生建設性干涉,造成更高的波峰。因此金屬片上產生共振駐波。
 
由以上討論可知,在金屬片上產生共振駐波的條件是:波峰在金屬片上來回二次所需時間為外力週期奇數倍,也就是
 
公式(2)。
▲公式(2)。
為什麼(2)式中n必須為奇數呢?如果n是偶數,波峰在金屬片上來回一次回到自由端反射為波谷時外力產生一個新的波峰。新的波峰與反射波谷相消,因此金屬片不會振動。 
 
由(2)式可得共振駐波頻率為 
公式(3)。
▲公式(3)。
波長為
公式(4)。
▲公式(4)。
最低頻率
公式(5)。
▲公式(5)。
稱為基頻。較高的頻率稱為高倍頻,如三倍頻、五倍頻等等。基頻模式產生的聲音稱為基音。高倍頻模式產生的聲音稱為泛音。基音的強度最大。愈高頻的泛音強度愈小。基音決定樂器的音調。泛音的數目及它們的相對強度則決定樂器的音色
 
由(3)式可知金屬片愈短聲音頻率愈高。音樂盒內有許多不同長度的金屬片,振動時產生不同頻率的聲音振動時產生不同頻率的聲音,因此可演奏樂曲。
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