我們從小就聽過很多建築物或山的高度，比如說，臺北 101 大樓高 509 公尺、玉山高 3,952 公尺。但是，你是否想過這些高度是如何測量出來的？
除了這些高度外，還有比如山谷的深度等，也都是古人有興趣的問題。現代人最常應用在測量上的數學，是所有高中生都會的「三角函數」。研究三角函數的學問稱為「三角學」（trigonometry），從英文字源來看，這個字的意義是「三角（trigon）測量（metry）」，就是用三角形作測量的學問。臺灣某些補教界名師或少數高中教師，很努力地教高中生三角函數「和差化積」、「積化和差」等公式的技巧，來證明各種漂亮的恆等式，卻不重視三角測量的應用，實在是本末倒置。
玉山有多高
古人對大地測量也有興趣，但是，像山的高度、谷的深度，是無法用一把夠長的尺直接看刻度量得的。事實上，就算真的有那麼一把超級長的尺，人們還是無法直接測量山高。
玉山有多高？
那麼，要如何量山的高度呢？在測量時，常用到國中學的畢氏定理—直角三角形兩股上的正方形面積和等於斜邊上的正方形面積。如果直角三角形的三邊長是 a、b、c，其中 c 是斜邊，三邊就會有 a2 + b2 = c2 的關係。如果知道直角三角形的其中兩邊，就可以很容易地求出第三邊。可惜的是，如果把山的高度看成直角三角形的一股，仍然有另一個未知數，因為我們不能從平地水平地向峰頂下方挖一條地道。因此，在這個直角三角形中，至少有兩個未知數。
在國中數學課程中，我們知道，要求出兩個未知數必須列出兩個方程式。古人也知道，雖然無法直接求出山高，但可以利用兩次測量求山高，這就是「重差術」。
重差術的應用
西元 3 世紀，三國時代魏國的劉徽，寫了一本《海島算經》，第一題「望海島」就是測量海島的高度。測量海島的困難與測量山高一樣，因為你只能在遠處測量，不能拿一把尺越過海拉到海島上。劉徽所使用的「重差術」，就畫在古書裡。原文為
今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問島高及去表各幾何？ 答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表裡數。
《古今圖書集成》中的望海島圖。（圖片來源：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Sea_island_survey.jpg）
劉徽當年如何找出重差術的方法，並沒有記載在《海島算經》中，不過，我們可以運用相似三角形的概念來理解這個方法。我們用以下引文來看看望海島的題目與示意圖，為了計算方便，題目的數字與單位已經過修改。文中所謂的「兩表」是指兩根（測量用）標竿，「前後相去」表示前後表距離，「參相直」是指三點共線，「卻行」表示向後退，「表末」則指表的頂端。
今有望海島，立兩表，齊高 5 公尺，前後相去 50 公尺，令後表與前表參相直。從前表卻行 10 公尺，人目著地取望島峰，與表末參合。從後表卻行 15 公尺，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何？
《海島算經》第一題「望海島」使用的「重差術」
本題是說，想要測量海島 AB 的高度，在岸邊立了兩個「表」（CD 與 EF），都是 5 公尺，兩表之間 DF 的距離是 50 公尺。從前表 CD 向後走 10 公尺，把眼睛貼到地面 G 點，則島峰 A 與表末 C 重合，也就是 A、C、G 成一直線。從後表 EF 向後走 15 公尺，把眼睛貼到地面 H 點，則島峰 A 與表末 E 也重合，也就是 A、E、H 成一直線。
假設島高 AB 是 x，前表到海島峰頂正下方的 BD 是 y。很明顯地，△ABG 與 △CDG 相似，ΔABH 與 ΔEFH 相似。因此，AB：CD = BG：DG 且 AB：EF = BH：FH。根據這些性質，可以列出兩個方程式，解二元一次聯立方程式得 x = 55，y = 100。因此，海島高度是 55 公尺。
重差術的一般性解法
上述方法可以一般化。只要運用符號表示「表高」、「前表卻行」、「後表卻行」、「兩表相去」等數據，例如用 a、b、c、d 依序表示上述 4 個已知量。同樣可以列出二元一次聯立方程式如圖，解二元一次聯立方程式，得到海島高度的公式，其中 a 是表高，b、c 是前、後表卻行，d 是兩表之間的距離。
中國古代的重差術，可以幫助我們巧妙地計算出無法直接測量的高度。或許下一次，你可以嘗試自己測量看看某座海島（譬如宜蘭龜山島），或是某座建築物（譬如臺北 101）的高度喔！
還有，古代數學中常見的一些方法（譬如重差術），都針對了某些特定問題求解，然而，它們也具備了一般性的延拓條件。由此來看，解決特定問題並不影響我們理解一般性的理論與方法，重差術的歷史啟發性在此！
