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多采多姿的多面體世界

96/04/04 12953

張簡貴明｜圓明診所

夜空星光點點，長時間曝光照相，可見眾星以北極星為中心化成一段一段圓弧，偶爾有獅子座流星群劃過天際抹了一段亮線。

轉盤上的陶土經巧手捏成曲線，轉成美妙的陶塑藝術品。

這是個由點、線、面、立體及時間組合成的四維世界。然而，從小學開始的教育是以文字、書本、紙張的平面世界為多，除了簡單的立方體、長方體、角錐、圓錐、圓球外，學校給我們的立體教育實在很少。

3等長線段可組合成正三角形，N等長線段可組合成正N邊形，一直到近無窮邊數的正N邊形。然而，正N多面體的情形又是如何呢？

在本文中，經由簡單的工具，紙筆、直尺、圓規、量角器、色筆、剪刀、漿糊、中國結用線及一顆澈底探索的心，教你畫出彩色的正多邊形，再組合成奇妙的多面體。

向天上彩虹借顏色

多年前的某日雨後清晨，筆者由台南搭電聯車赴嘉義上班。途中，一路綠野平疇，遠望西方天空，有道七色彩虹隨車往前飛奔。彩虹是雨後小水滴把太陽光折射後，由於各可見光折射率不同而有不同的折射路徑所形成的。有時在主虹旁，還有顏色較淡、順序相反的副虹（霓），真是大自然的傑作！

就借用天上彩虹美麗的七彩顏色，抹在多面體的每一面上吧！多面體每一面可以是任一種正多邊形。彩虹有紅、橙、黃、綠、藍、靛、紫共7種顏色，可分配給正三角形至正九邊形共7種正多邊形。那正十邊形以上，要抹何種顏色呢？就留給讀者有發揮的空間吧！

剪出多面體的每一面

顏色定好後，就要剪出多面體的每一面。多面體的面可以是相同的正多邊形，或是相異的正多邊形，唯一的要求是邊長都要相等。正多邊形每一邊上還要有一半圓形的耳朵，以便和相鄰的正多邊形黏貼。

畫正多邊形可採用幾何學的方法，以鉛筆、直尺和圓規在白紙上畫出，如正三邊形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形，及其他2的倍數的正多邊形。有些正多邊形如正七邊形、正九邊形等，無法用上述幾何方法來畫，就需要用量角器，量出相鄰兩邊的夾角（即外角），依序把各邊畫出來。

把正N邊形的每一邊依序視為逆時針旋轉的向量，這向量在每一頂點改變一固定角度，共改變N次，而旋轉了一圈，繞了360度。因此，相鄰兩邊的向量夾角是360／N度，也就是所謂幾何學的外角，與其互補的內角則是180－（360／N）度。

尖頂帽、平頂帽或歪形帽

取固定的起始頂點，把多個多邊形邊對邊黏在一起。依黏在相同頂點的所有多邊形的內角和大小，有3種狀況：小於360度就成尖頂帽狀，等於360度就成平頂帽狀，大於360度就成歪形帽狀。

只有尖頂帽狀才能繼續黏貼多邊形，圍成多面體。因此，在同一頂點的所有多邊形的內角和要小於360度，這是圍成多面體的必要條件，稱為360度上限原理。

以正三角形組成正多面體為例，正三角形外角120度，內角60度，同一頂點多邊形面數的上限＜6（即3，4，5）。

電子顯微鏡可拍出各種病毒結晶形狀，SARS病毒像木麻黃種子的刺球狀，有些病毒像子彈狀，很多病毒結晶形狀是由正三角形組成的20面體，如腺病毒、泡疹病毒等。

正四邊形（即正方形）可組成正六面體（即正立方體），正五邊形可組成正十二面體。正六邊形以上的正N邊形無法組成正多面體，主要是因為內角太大，超過或等於120度，在360度上限下，無法容納3個以上的正N邊形，也就無法形成尖頂帽狀，這就叫做三正N邊形下限原理。混合兩種正N邊形則可以組成多元多面體，世界盃足球賽的足球是由正五邊形與正六邊形組合成的混種多面體球。還有那些混種多面體呢？組合結果大致可以分為4類。

太陽花類或稱母雞帶小雞類：利用正四邊形和正N邊形的組合，可組成上下面是正N邊形，側面由正四邊形圍成的多面體，再加上黏貼花邊，就像是盛開的太陽花（向日葵）。正三邊形也可和任何正N邊形組成太陽花形狀的正多面體。
類正多面體類：當二種正多邊形，邊數相差1，即（3，4）、（4，5）、（5，6）中（5，6，6）型等配對，可組合成較近似正多面體的混種多面體，如五邊形和六邊形組成足球體。其他還有（3，5）、（4，6）、（3，6）等配對，也可組合成較近似的正多面體。
類橢圓球多面體類：以五邊形和邊數相差1至4的多邊形，如（5，6）中（5，5，6）型、（5，7）、（5，8）、（5，9）等組合，可組成類橢圓球的多面體。
曲面多面體類：有些多邊形的組合，相鄰兩邊連續黏合時，會形成曲面，而成曲面多面體，如（3，7）、（3，9）、（3，11）等組合。

由多種多邊形組合成的多面體，有無限的組合方法，可形成各式各樣的形狀，如利用三邊形、四邊形、八邊形等，可組成蓮花座形、鐵鉆形、啞鈴形、燈塔形等。

真實世界的多面體

在大自然中有種種的多面體，如Ｂ型肝炎病毒、腺病毒等，就有很多呈現20面體結構。在人造物體中有些也是多面體，如正三邊形組成的金字塔、正四邊形組成的方糖、正五邊形與正六邊形組合成的足球、五邊形與七邊形組合成的多面體、三邊形與四邊形與其他多邊形組成的扁平向日葵形多面體等。

點動而成線，線動而成面，面動而成體，體動而成多采多姿多變化的時空宇宙。線段可組成邊數無限多的正多邊形，正多邊形能組成的正多面體，為數卻是有限。混合多種不同色彩的正多邊形，就能組成無限多的多采多姿多面體。

資料來源

《科學發展》2007年5月，413期，52 ~ 55頁

科發月刊(5221)

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