數學：用電腦畫中學數學
100/03/04
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林倉億｜
臺灣臺南第一高級中學
筆者在求學時遇到好幾位很會畫圖的數學老師，最經典的就是不依靠其他工具，只憑粉筆在黑板上隨手一畫，一個「圓得不像話」的圓就出現了，然後瀟灑地站在黑板前，享受學生發出的讚嘆聲。如今，筆者已成為高中數學教師，但很慚愧地，並沒有得到老師們的真傳。
每當在黑板上畫個「號稱」是圓的圖形時，都只能自我解嘲地對學生說：「假設這是一個圓。」或是：「如果在你眼中這不是一個圓，那老師勸你趕快去找眼科醫生檢查，不要壞了靈魂之窗。」會有這種窘境，一方面是自己練習不夠，另一方面是現在是數位化時代，有電腦及繪圖軟體可以代勞，不管什麼樣的圓，只要動動滑鼠就能畫出，甚至還可讓圖形旋轉與翻轉。
拜繪圖軟體之賜，中學數學所需的圖形，全都可以輕易地在電腦中完成，然後漂漂亮亮地呈現在學生眼前。但繪圖軟體從幼稚園孩童就可上手的「小畫家」，到大學教授做研究的利器「MATLAB」，軟體何其多，本文簡介 GSP、Cabri 3D、GeoGebra 及 AMA 這 4 種在中學數學課堂中常見的繪圖軟體。
動態幾何繪圖板
動態幾何繪圖板，或稱幾何畫板（The Geometer's Sketchpad, GSP），是 1993 年由臺灣師範大學數學系左台益教授、陳創義教授，以及清華大學數學系全任重教授等大力推廣，至今成為中學數學教師最常用的繪圖軟體。只要上網搜尋「GSP」，就會發現不少數學科網頁中都有相關的教學說明，更有不少教師樂於和大家分享他們的作品，把已完成的圖形放在網路上供人下載。
這套軟體會如此受歡迎，主因之一是使用者可以在圖形上直接改變大小、求交點，以及平移、旋轉、對稱等，然後即時觀察圖形的變化，更可以顯示動點的軌跡、函數圖形，以及測量多種如長度、面積、角度等的幾何量。
例如在高中數學圓錐曲線課程中橢圓的定義是：
給定平面上相異兩定點 F，F’，兩點之間的距離是 2c（c＞0），這平面上到 F，F’ 的距離和是 2a（a＞c）的點所形成的圖形稱為橢圓。
藉由 GSP 可讓這「死板板」的定義「動」起來，然後橢圓就出現了。此外，在平面上呈現立體圖形原本就受到許多限制，但透過動態的過程，可以讓使用者從不同的角度觀察，增加對三度空間的理解。
尤有甚者，GSP 不只是課堂中的輔助工具，更成為學生做科學展覽的利器。藉由軟體的幫助，學生可以輕易地改變條件，然後觀察圖形的變化，如是否共線、共點、共圓，或長度、角度、面積間的關係等，然後形成猜測，再利用軟體及數學理論來核證、修改猜測。重複這個歷程，一份入門的研究報告就成形了。綜觀近幾年高中數學科展，大多數與幾何有關的作品中，都可以發現 GSP 的蹤影。
GSP 也有不足之處，比如在呈現橢圓與雙曲線的方式上，GSP 無法讓使用者藉由直接輸入方程式來顯示圖形，而必須利用橢圓與雙曲線的定義或幾何性質，再加上軌跡的功能來作圖。甚且，若要進一步求軌跡與其他圖形的交點座標，GSP 也無能為力。畢竟 GSP 是以平面幾何為主，三度空間的表現顯然不如其他以立體空間為主的軟體。
Cabri 3D
2004 年 9 月問世的 Cabri 3D，是第一套動態立體幾何軟體，它不但可以容易地做出立體圖形，而且只要按住滑鼠右鍵，就可以隨意地使圖形做三度空間的旋轉，也就是說，可隨意地改變視角。此外，只需要操作滑鼠，使用者就可以對圖形進行簡易的動態模擬。
在高中數學課程中，關於空間向量或立體幾何的實際教學，礙於教學工具，多數教師幾乎都是把三維的圖形畫在二維的黑板上後，再靠一張嘴與手勢帶領學生運用想像力，去掌握立體圖形的性質，或找尋解題的關鍵線索。這樣的教學方式固然可以訓練學生的想像力，但「想像」是要「想得像」，一旦遇到想像力較薄弱的學生，想的跟老師的一點都不像的時候，師生都會充滿無力感。
比如說，「一個平面截過一長方體，其截面圖形究竟為何？」這對許多學生已是想像力的大考驗，若把長方體改為其他多面體，一定有更多人，包括數學教師，都會舉白旗投降。幸好 Cabri 3D 這套軟體提供了「用平面截多面體的功能」，可做各種模擬，而能眼見為憑。
再舉「三垂線定理」為例子：「若空間中有一直線 M 落在平面 E 上，A 點在平面 E 外，作直線 AB 垂直平面 E 於 B，作直線 BC 垂直直線 M 於 C，則直線 AC 也會垂直直線 M。」本例在 Cabri 3D中，只要按住滑鼠右鍵後移動，就可隨意改變視角，讓學生從各種角度「看到」3 條垂直的線。
更多的例子可造訪吳秉鋒老師的網頁「Cabri 3D 在中學數學的應用」（網址：http://wu43.net/Cabri3D/），或臺北市立第一女子高中鄭國恭老師的網頁「Cabri 3D 作品分享」（網址：http://www.fg.tp.edu.tw/~math/mainpages/Cabri3d/cabri3d.htm）。
平心而論，Cabri 3D 雖然在立體呈現上功能強大，但在中學教育環境中普及率仍偏低，原因除了售價的問題外，中學數學中與立體幾何有關的內容並不多，影響了中學教師對立體繪圖的需求。
GeoGebra
2006 年臺灣師範大學物理系黃福坤教授把這套軟體引進臺灣，而從 2009 年開始，臺灣師範大學數學系左臺益教授的網路小組開始大力研究，並針對中學教師舉辦工作坊，期待把這套軟體推廣至校園中。
GeoGebra 的名稱是由 geometry（幾何）與 algebra（代數）兩字合成的，顧名思義，這套軟體就是強調幾何與代數的結合。比如說，若在繪圖區畫出圓或直線，代數視窗就會出現對應的方程式；反過來，若是輸入代數方程式，繪圖區便出現其圖形，非常方便，也易於使用。這套軟體還有一個最大的好處—免費，而且由美國科學基金會資助其繼續發展更多的功能，因此使用者不必花錢購買軟體，也不用擔心買了以後還要再花錢升級。
除了臺灣師範大學數學系的團隊之外，臺北縣立錦和高中陳禾凱老師也在他的網頁上建立了「GeoGebra 學習園地」，並在「教育部高中數學學科中心」的電子報中成立「GeoGebra 數學繪圖教室」專欄，教導數學教師使用這套軟體。雖然 GeoGebra 在國內的推廣才剛起步，但筆者樂觀地預期，不久後 GeoGebra 將有機會與 GSP 平起平坐。
Activate Mind Attention
Activate Mind Attention（AMA）是交通大學陳明璋教授團隊發展出來的，是道地的 Made in Taiwan。AMA 是以 PowerPoint 為平臺的軟體，與其他軟體最大的不同處在於，這套軟體並非單純為了畫圖而設計的，而是以做為「數學簡報系統」出發，希望結合資訊科技、認知科學與學習理論，讓教師在 PowerPoint 平臺上製作的數位內容，除了能夠吸引學生的注意力、引導學習外，更進一步地降低認知負荷，增進學習的效果。
AMA 中的結構式複製繪圖法，在繪製平面幾何圖形上有其獨到之處，特別是具有等比關係的幾何圖形或碎形，畫來更是簡單快速。不過，成也 PowerPoint，敗也 PowerPoint。畢竟 PowerPoint 是偏向商業簡報的軟體，在數學內容的呈現上，特別是代數式，使用上就麻煩多了。此外，PowerPoint每個頁面可以呈現的內容相當有限，遇到比較大量的算式或推論過程，就必須拆成幾個頁面來呈現，因而破壞了完整性。
AMA 還有一項十分特別之處，就是利用結構式複製繪圖法，不但可以畫山、樹、雲、草、石等，還可以作幾何造形、數學視覺設計的創作，可謂是開創出一個新的電腦藝術領域。2008 年 6 月，陳明璋教授及他的學生在交通大學開「畫展」，向各界展示利用 AMA 可以在短時間內呈現作品的成果。
近年來，陳教授的團隊更努力地辦教師研習，期待更多的數學教師能掌握 AMA，以增進課堂上數位教學的效果。在 AMA 網站「阿嬤的家」（網址：http://ama.nctu.edu.tw/ama2/index.php）中有多位成員的成果，有興趣的讀者可上網瀏覽。
賞心悅目地學數學
身處這個時代的教師，真的很幸福，有許多繪圖軟體可以輔助教學，但也很有挑戰性，因為每套軟體都有優點，也有不足之處，若真的要盡善盡美地「畫」數學，就得花許多時間去研究。所幸，國內有許多不藏私的教師，把他們的心血結晶放在網路上與大家分享，也不吝於在網路世界一起討論、切磋。
話說回來，最幸福的還是現在的學生，坐在臺下就可以「賞心悅目」地學數學。隨著科技不斷地發展，教學變得越來越有看頭。值得一提的是，時下越來越熱門的電子白板也逐漸應用到教育領域了，或許不久的將來教師在講臺上上課，可以像電視新聞主播般，拿著電子筆在電子白板上點點寫寫「畫」數學，還可以透過網路把各樣的教材、資料呈現在學生面前。屆時上課的教材就不是二度空間的紙面，而是多采多姿的數位螢幕與內容豐富的資料庫了。期待這麼一天的來臨！
