身高可以互相度量
本學期，我在一門與本系同事合開的「數學活動與思維」課程中，準備和學生討論「公度量」的相關問題。過程如下：先說出我的身高是 174 公分，然後，請某位同學也說出他的身高，如 178 公分。再讓學生思考，若以「1 公分」作為一個共同的度量單位，那麼，我的身高和那位學生的身高，就可以公度量了。亦即，我們兩人的身高可以用同一個度量單位，同時來「量盡」。
接著，我在黑板上任意畫出兩條線段，再詢問學生：這兩條線段是否可以「公度量」，亦即是否存在一個「度量單位」，譬如 u，使這兩條線段的長度分別可以用度量單位 u 量盡而沒有剩餘。換句話說，可以表示為 mu 與 nu，其中 m、n 都是正整數。結果，認為「是」的占絕大多數，只有少數回答「不是」或「不一定」。有一位認為「不是」的學生他的解釋是：如果以正方形的一個邊長與對角線，這樣的兩條線段來思考，則任意兩條線段就會是屬於「不可公度量」的情況了。
不可公度量與 (2)1/2
一般熟悉初等數學的讀者，都知道上述那位學生，是利用「對角線與一邊之比」為 (2)1/2 的角度來思考問題。在正方形 ABCD 中，AB 為其一邊，AC 為對角線，如果 AB 與 AC 可以公度量，則設 AB = pv，AC = qv，其中 v 為某度量單位，p、q 都是正整數，那麼，AB : AC = pv : qv = p : q。這也就是說，p/q = p : q = (2)1/2 : 1 = (2)1/2，如此一來，運用歸謬法（或間接證法，或反證法），就立刻可以導出矛盾的結果，而證明出：
AB 與 AC「不」可以公度量！
其實，上述提到的歸謬法就是高中數學課本中「(2)1/2 是無理數」的典型證法。此種證法，很接近亞里斯多德所提示的方法，只不過在「修辭」方面稍有不同，說明如下：
AB、AC 分別是正方形 ABCD 的一邊與一對角線。假定 AC 與 AB 可以公度量，令 AC : AB = a : b，並且 a、b 沒有大於 1 的公因數。由畢氏定理可知，AC2 = 2AB2 則 a2 : b2 = AC2 : AB2 = 2AB2 : AB2 = 2 : 1，因而 a2 = 2b2。如此一來，a2 是偶數，連帶地 a 也成為偶數。現在，既然 a 是偶數，那麼不妨假設 a = 2c，則 4c2 = a2 = 2b2 或 b2 = 2c2，如此一來，b2 及 b 則都必須是偶數，可是當 a、b 都是偶數時，則又與 a、b 沒有大於 1 的公因數相矛盾！因此，AC 與 AB 不可公度量。
經過上述的對比，我們可發現：兩種證法，實質上是相同的，只不過，第二個證法不涉及 (2)1/2 是無理數的觀念，所以，應該是人類較早期的思考模式。由此，我們也可以推知：古希臘人應該不具有「無理數」的觀念，而只有兩個或多個同類的「幾何量」是否可以公度量的思考。如果他們發現是不可公度量的情況，則在處理時，就有可能不用數目來評比了。因此，古希臘人設法利用其他的方法來處理不可公度量的問題，就可以是一個合理的推論了。
兩無等幾何與兩無等數
請先參考節錄自歐幾里得《幾何原本》第十卷第二命題：
大小兩幾何，輾轉相減，而所餘幾何俱不度原幾何，則為兩無等幾何。
為了讓讀者清楚了解命題的意思，我將上述命題的證明，改用代數符號表示。假設這兩個「幾何量」（譬如「兩個線段」好了）分別為 a，b，a > b，那麼，經過「輾轉相減」，得 a = pb + c，b = qc + d，c = rd + e …… 等等。如果，此一步驟無法終止，也就是說，餘項始終不為 0，那麼，就表示這兩個幾何量為「不可公度量」。如果不是，則再假定 a，b 的公度量為 f，則 f 可以量盡 a－pb = c，從而可以量盡 b－qc = d，乃至於 e 等等。由於上述輾轉步驟始終不能窮盡，所以，一定會有一個餘項（比如 e）比 f 來得小，f 可以「整除」e，e ＞ f。這顯然不可能。
如何將「度量」數學化？
史家湯馬斯．希斯（Thomas L. Heath）在他的《歐幾里得幾何原本十三冊》（Euclid: Thirteen Books of the Elements）中，介紹了一個取自喬治．克里斯托（George Chrystal）編寫的代數教科書中的一個方法，充分反映了本命題及其證明中極為濃厚的「程序性」色彩，令人印象深刻。
令 d，a 分別是正方形 ABCD 的對角線與一邊，在 AC 上截一點 F 使 AF = a，畫 EF 垂直 AC 並交 BC 於 E。
用畢氏定理很容易證明：BE = EF = CF。並且
CF = AC－AB = d－a ………………… (1)
CE = BC－CF = a－(d－a) = 2a－d …… (2)
假定 d，a 可以公度量，不妨設 d，a 都是某一個共同度量單位 u 的正整數倍。由(1)、(2)可知 CF，CE 都是 u 的整數倍。 現在由於 CF，CE 分別是正方形 CFEG 的一邊與對角線，而且此一邊較原正方形 ABCD 的邊的一半為短。令 a1，d1 為正方形 CFEG 的邊與對角線，則
a1 = d－a，d1 = 2a－d。
同理，我們可以選一個正方形分別以 a2，d2 為邊 與對角線，它們都分別小於 a1，d1 的一半，同時由於 a2 = d1－a1，d2 = 2a1－d1，所以 a2，d2 也都是 u 的整數倍。依此類推，我們可以推得一個要有多小就有多小的正方形，而它的邊、對角線也是 u 的整數倍，這顯然不可能，因為單位 u 的整數倍不可能任意小！
若將上述證明策略的「翻譯」改寫，且模仿歐幾里得的《幾何原本》第十卷第二命題的證明：喬治．克里斯托先利用「邊」BC 為「尺」去度量「對角線」AC，結果剩下「量不盡」的 CF。其次，再以這一個 CF 為「尺」去度量 BC，結果去掉 BE 之後，還剩下 CE「量不盡」。現在，再將這種「輾轉互相度量」的作法，應用在較小正方形 CFEG 的「邊」CF 與「對角線」CE 上。依此類推，則一開始若 BC，AC 可以公度量，則將導致矛盾，則是因為如圖中的正方形可以愈作愈小，但是，這種情況對於前所設定的「公度量單位」u 之整數倍，卻不會發生。
這種「輾轉（互相）度量」的想法怎麼來的，我們目前還無法確定。在日常生活中，公度量的觀念看起來有一點不可思議。一般而言，度量都需要一個標準單位。任意給兩個線段，然後考察它們是否可以公度量，這種問題很像是人類故意捏造出來的。但也可能在某些族群的文化中，人們非得這樣做不可，古代希臘人應該就是此種情況吧！ 利用這種「輾轉相（除）減」來計算兩個正整數的最大公因數的步驟，不僅是出現於古代希臘的《幾何原本》中，中國古代《九章算術》，也出現類似的版本，兩者不同之處只在於後者用了「約分」：
約分術曰：可半者，半之。不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。
此一方法，根據考證，在公元前186年西漢初的《算數書》就已出現。但在數學脈絡中處理「公度量」的問題，還是以古希臘歐幾里得的《幾何原本》中的論述最為完整。
人是萬物的尺度？
公元前第五世紀，希臘辯者普魯塔格羅斯曾經宣稱：「人是萬物的尺度」。這種觀點，大概也呼應了畢氏學派所主張的「萬事萬物，都可以表徵成為數目的比（ratio）」。正因為如此，所以，「ratio」 對應的希臘字「logos」，就成了「可以表達」的意思了，從而「可公度量」顯然就成為古希臘人的日常用語了。不過，萬一我的「尺度」與某一個線段是不可公度量，它們以一種「非比」（ir-ratio）關係存在，那麼，運用我的「尺度」，就無法表達這一個線段的長度了。古希臘人稱這種情況為「alogos」，也就是缺乏文字可以表達的意思。
在「不可公度量的比」尚未出現之前，畢氏學派可以說是自信滿滿，總認為利用「比」的概念，就可以理解整個宇宙了。其實，這種手法也反映在他們對美學的研究上。譬如「美」對於他們來說，就是有很好的比例關係。無怪乎，他們會對「黃金分割」的比（約等於 1.618）會那麼執迷了。
希臘人（尤其是畢氏學派）這種以人類為中心的「偏執」（「我執」？），在「不可公度量」出現之後，就很難再堅持下去了。於是，繼之而起的柏拉圖學派，就勇敢而率真地提出並面對愈來愈多的「不可公度量」的事件。門徒中的希兒特斯與尤德克瑟斯也因而成功地發展出一套比例理論，最後，再由歐幾里得總結了古希臘人在這一方面的研究工作。
然而，從「不可公度量」到「無理數」，其實是漫漫長途，前後延續了約兩千年之久！這一則數學故事的完結篇，恰好也見證了像 (2)1/2 這樣的無理數，終於取得了「數目共和國」的公民資格。
數目共和國
在《從零開始》一書中，作者卡普蘭以「數目共和國」作比喻，來說明數學家最終如何將「零」納入為一個「合法的」數目。他的說明十分動人，在此引述供讀者共享：
數（目）共和國遠比語言或理念的世界要來得保守。它就像瑞士一樣不樂意接納新成員，又像黑手黨一樣，一旦宣誓加入，就別想脫身。以無理數為例，最初它們曾被畢氏學派視為罪惡的秘密，而它們在揭曉後，也徹底動搖了希臘人的信心。但是，兩千五百年之後，我們已經不能沒有無理數，即使它們的存在意義至今仍有爭議。至於虛數呢……現在它們已經跟實數在數（目）共和國的街道上共處，不會再引人側目，不過它們仍具有其名稱的特徵。
卡普蘭還特別強調：「數（目）共和國的特色在於，如果某物要成為一個數（目），它就必須要能和現存的數（目）來往，至少要能和它們寒暄。它必須要能與其數（目）以常見的方式結合。」這種看法，可以呼應數學教育家安娜．史法所說明的數學概念之一體兩面–運算性格與結構性格，亦即：某物在取得「數目」的身分（「結構」）之前，通常都必須積極地參與各種「運算」——或許這就是被接納成為公民的條件之一吧！
事實上，數目 (2)1/2 乃至於複數或虛數 (-1)1/2 歸化成為這一個共和國的新移民，過程也相當類似。針對後者，我曾以梁山泊盜匪最後被宋王朝招降，來比喻虛數如何被分封「領地」（亦即提供邏輯基礎），最後才使它的地位獲得數目王國的正當性：
複數在形式化之前，是由於在科學上「有用」才逐漸被數學家接受的。這種現象實在很像宋王朝「招安」梁山泊好漢，既然消滅不了他們又用得著他們，只好封他們做官，為它們尋找合理化的基礎。由於威廉．漢彌頓（Sir William Rowan Hamilton）的奮鬥，數學家王朝最後才「被迫」承認複數的合法地位。
無論是數目共和國也好，數目王朝也好，上述例證都可以說明數學發展的一個非常重要的事實，那就是：新的（數目概念）成員的加入，經常都不是事先規劃的結果。儘管數學家領袖都被迫對這些偷渡客或叛逆的盜匪進行大赦，然而，最後的最大受惠者，還是整個共和國或王朝。數學知識成長的某些動力，源自對於「異例」如 0，(2)1/2，(-1)1/2 的消融與吸納，而不是想當然耳的直線累積，在歷史認識論上，實在很具有教育意義。
以我的身高為準，本來是古希臘人想當然耳的一種宇宙觀。然而，與此呼應的數學研究，卻發展出「可公度量」，以致於「不可公度量」的問題。儘管歐幾里得在他的《幾何原本》中並未證明正方形的邊與對角線不可公度量，但是，該書第十卷對於不可公度量的處理，恐怕還是帶給後世數學家處理無理數時，很大的啟發。其實，整個數學史的基調無非是「數目」與「幾何」的分合恩怨，而揭開此一序幕的，則非古代希臘人莫屬。 不僅如此，我們現在轉述這一段歷史插曲，仍然覺得古代希臘人以嚴密的邏輯論證作後盾，將日常生活經驗轉化成數學語言的操作，是極高的智慧，值得我們學習與模仿。至於畢氏學派的宇宙論主張，儘管由於「不可公度量比」的意外現身而無以為繼，不過，卻觸及了「數學哲學」的最根本問題，也就是：我所任意「畫」出來的兩條線段「不一定」可以公度量—「是」與「不是」之外的第三種答案！這是因為我所「畫」的線段，並不是數學家或柏拉圖所謂的線段。這樣一來，如果有人說：「我不知道我「真正」的身高多少？」或者甚至於說：「我的身高等於 (3)1/2 公尺！」恐怕我們也只有尊重了。只是，必要時說出一個「有意義的」近似值，或許是一個公民的應盡責任與義務吧！
