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奇妙的複數模糊理論

104/02/04 9952

范賢娟｜臺灣師範大學科學教育研究所

不論是個人對世界的認知，或是人類知識的進展，很重要的起點是對事物分類，如冷熱、快慢、大小、高矮、老少。然後由這些簡單的質性描述，再加上程度的修飾，如一點、非常等，最後則是進展到精確的數字度量。

不過，如果想把非常冷、有點冷、冷熱剛好、有點熱、非常熱等的程度修飾對應到數值上，會發現其間沒有明確的分界，而會有過渡的範圍。因此就有「模糊理論」的產生，用隸屬的概念來呈現一項特質屬於某幾個類別的可能。這是種集合的觀念，談的是「類別集合」和其中「元素」的隸屬關係。以經驗而言，隸屬關係具有程度上的差別，例如某人身長180公分（元素），算「高」（類別）的程度達75％（隸屬程度）。

1965年，美國加州大學柏克萊校區的札德（L‭. ‬A‭. ‬Zadeh）提出模糊集，用數學的方式來表達上述的觀念。經過50年的發展，理論愈趨完善，現在已大量應用在人工智慧、系統控制、決策、預測等方面。

2000年左右，有學者提出這種模糊集的隸屬關係或許可以用複數的概念，結合實部與虛部來表示。中央大學資管系的李俊賢教授不斷盤算著可以怎麼進一步融入他的研究中，經過一段時間的醞釀、嘗試，到2013年，完成了一份關於「複數模糊」的研究，並在幾個領域測試其預測能力。

從數學上來看，複數模糊集把元素和其集合之間的隸屬關係從一個實數‭[‬ 0,1 ‭]‬區間範圍，擴展為複數平面上的單位圓盤範圍的隸屬關係。換個角度說，以前所了解的實數區間的隸屬關係，變成了這個複數單位圓盤在虛部是0時的特殊隸屬關係。這樣開展了超過經驗所能理解的豐富隸屬關係內涵，有助於提升模糊系統的映射能力與應用效能。

問題是，在觀念上這樣豐富的內涵有什麼意義或功用呢？在模糊系統設計上需要很快找到對應的複數模糊集的分布形式，以便發揮它們的效用。

李教授先討論「分群」的類別數目。傳統上，會因受限於語文詞彙「有點」、「非常」、「剛好」等而有幾種固定的類別。但李教授研究發現，分類的群數會影響到模型預測的精準程度，這不該是事先給定的，而是應根據待分析數值的分布特性選擇一個最佳的分群情況，好讓群間數值的離散度達到最大，群內數值的集中度最緊密。因此，在正式處理分析之前，還有前處理的工作要產生幾個「語意」的群塊，還要能讓語意群塊對應到數值以建立起隸屬關係，讓機器（複數模糊系統）建立起最佳分析數值的「心智架構」。

李教授把這計算模型應用到不同領域的數值去驗證其預測能力。例如，在天文上，變星的光度會變化，李教授及其研究生取得一顆變星的600天觀測資料，前300天的觀測數值經過前處理後發現，分成4群會有最佳情況。接下來採用複數模糊理論去計算後續300天的變化情況，發現這方法的預測比起其他方法更精確。

李教授還把臺灣與美國那斯達克、道瓊的股市資料拿來分析，發現這方法因為複數有實部與虛部的數值，因此可以同時輸出兩個部分，對於預測開盤價與收盤價可以同時計算，節省較多的時間。

對於這個創新方法的成果，李教授一方面希望能在更多領域廣泛應用，例如人工智慧、專家系統、系統控制、影像分析、建模、策略、認知學習等；一方面也希望在觀念上突破，了解我們基於經驗所理解的世界是非常有限的，如果能藉由某些方法例如數學去延伸到經驗之外的世界，那會是非常有趣的事情。

資料來源

《科學發展》2015年2月，506期，76 ~ 77頁

模糊理論(2)

奇妙的複數模糊理論

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