生活中的運輸發展：跟車行為的理論模式–物理學家眼中的交通
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胡大瀛｜
成功大學交通管理科學系
在道路上，車輛的行進隱含著自然的規則，這個規則包含了人的行為、機械的反應等，在物理學家眼中，是可以轉換成簡潔理論模式的，赫曼博士（Dr. Robert Herman）就是這領域中的佼佼者。
赫曼博士
在交通科學理論發展的過程中，最早成型的是跟車理論模式。跟車理論模式起源於物理學家的好奇與執著，在此讓我們由帶領通用汽車公司（General Motor, GM）研究團隊的赫曼博士說起。
赫曼博士是物理學家，他一生的研究非常豐富與多元。他於1997年2月13日去世，臨終前留給朋友的e-mail訊息中，仍透露著對科學問題的深思。
赫曼博士在科學生涯中不斷探索著各門科學的新領域，並在各領域都有卓越的成就，例如在作業研究領域中建立了運輸科學學門，以及創立《運輸科學期刊》（Transportation Science），並擔任首屆主編。他的成就令他人難以望其項背，因此被尊為「交通科學之父」。
赫曼博士除孜孜於各科學領域的研究外，閒暇之餘也熱中於樂器，更常沉浸於思考樂器的物理學，例如大提琴琴弓的力學及英國笛的聲學。許多認識他的人都稱他為「文藝復興時期的人」。
赫曼博士於1940年獲得普林斯頓大學物理博士學位，主要研究分子光譜學。畢業後在賓州大學莫耳電機工程學院（Moore School of Electrical Engineering）從事Bush Differential Analyzer的研究，之後回到故鄉的紐約市立大學教授物理，並投入戰爭相關的研究，他的成果被廣泛應用於二次世界大戰中。
世界大戰結束後，他被延攬至戰爭軍事研究中心－約翰霍普金斯大學的應用物理實驗室，進行光譜學及物質濃縮的研究。這段期間他和加莫夫（George Gamow）的學生艾弗（Ralph Alpher）進行了宇宙論（Cosmology）的研究，他們預測宇宙早期的擴張大爆炸可能會造成殘存的均勻且具等向性的黑體輻射，這一結果於1948年發表。
1964年，貝爾實驗室的彭齊亞斯（Arno Penzias）和威爾森（Robert Wilson）在修正故障的無線電通訊碟時，意外發現了某種特殊輻射，在排除各種可能的干擾源後，他們認為這輻射並非源自地球。普林斯頓大學的物理學者解析這一現象後，也認為這輻射應來自宇宙的背景輻射，遺憾的是，他們在報告中並未提及赫曼和艾弗於1948年發表的研究論文。1978年，彭齊亞斯和威爾森因發現這宇宙背景微波輻射而同獲諾貝爾獎。
之後，赫曼博士和艾弗也因他們的貢獻而逐漸受到肯定，在1975年獲得美國哲學團體的Magellanic Premium，並在論文發表的45年後，也就是1993年，獲得國家科學會的Draper獎章。富蘭克林協會及比利時皇家學院也各頒授了John Wetherhill金牌獎和Georges Vanderlinden Prix以表彰他們。
跟車理論
1956年，美國通用汽車公司對於人們在道路上駕駛車輛的行為感到興趣，同年赫曼博士加入該公司的研究室，並帶領團隊試圖找出高速公路上用路人跟車的駕駛行為模式。赫曼博士與其團隊證明了即便人類的行為如此多變，透過模式的建立與實驗的驗證，複雜的問題仍然可以用簡單的變數來呈現。
在開始推導跟車理論前，先假設所有的駕駛人都會保持安全的跟車距離。假設有兩輛車，前車是n車，後車是n+1車，我們希望以一個簡單的刺激與反應數學式來表現n+1車的駕駛行為，如：
駕駛者的反應＝ f（敏感度係數，駕駛者受到的刺激）。
這個想法有幾個待釐清的問題：如何表示跟車駕駛者的反應、如何表達兩車之間的刺激、如何定義敏感度係數。
首先，跟車駕駛者的反應主要就是（n+1）車駕駛人的加油或踩煞車，這兩個動作在動力學上就是車輛加速、減速的變化。其次思考兩車之間的刺激，是由（n+1）車的駕駛人對於車輛速度變化的反應開始的。假設在t時間點，n車駕駛人改變了車速，（n+1）車的駕駛人勢必要做出反應。因為反應需要時間，所以令這個時間長度是T，即稱為反應時間，且T的大小會受到當時車速的影響，車速越快駕駛人需要更敏銳，因此反應時間較短。
因此可以得到一個簡單的數學模式，來表示駕駛人對於車速變化的刺激與反應：
駕駛者的反應 (t+T) = f（駕駛者受到的刺激 (t), 敏感度係數）
GM團隊在剛開始實驗、分析時，由於缺乏反應時間，因此模式的校估上出現了一些問題，直到赫曼博士找到T。然而敏感度係數仍未能非常明確地定義，因此他們以一個參數α來表示，並得到簡單的數學模式如式（1），其中α是一個速度與空間的增益因子，它所表示的意義是駕駛人的敏感度。
ẍn+1(t+T)表示n+1車的加減速度，是位置對時間的二次微分，ẋn(t)表示n車的速度，是位置對時間的一次微分。在初步的理論模式完成後，需要蒐集真實的資料來驗證模式，赫曼博士團隊利用GM的設備蒐集了許多資料，用以校估反應時間與敏感度係數。實驗採用兩輛車，前車根據規劃的加、減速度前進，後車的駕駛人則根據安全的考量行駛。
雖然實驗結果說明了模式的合理性，但數值的變異情形也讓研究團隊極為納悶。研究團隊考慮了許多方式來減少變異的狀況，後來決定考慮兩車間的距離，這個想法也產生了第二代跟車模式。
在實驗的過程中，研究團隊發現車隊前後兩輛車的距離會影響駕駛人的反應靈敏程度，因此把敏感度α根據兩車距離的近與遠分別改以α1與α2來表示，並形成第二代模式：式（2）
但在實際的應用上，他們發現兩車相距的遠與近是難以界定的，因此必須改變思考方向。重新觀察實驗資料後，他們發現駕駛人的敏感程度與當時和前方車輛距離d的倒數成正比，因此假設了一個新的敏感度參數α0，表示為：式（3），經過移項整理後可以得到式（4），把這個新的敏感度參數代入原本的模式中，就可以得到第三代模式：式（5）。
他們又發現在不同的道路狀況下進行，敏感度參數的變異有減少的趨勢。由於在第三代模式中，敏感度參數的表示包括一個α0常數與車間距，因此當兩車的距離越來越近時，敏感度也會越來越高。此外，α0常數的單位是每秒行駛的距離（英尺∕秒），即速度，這個發現對於未來建立巨觀與微觀車流模式的關係非常重要。但這個課題超出本文的討論，有興趣的讀者可以上維基百科（wikipedia）查詢。
在發展第四代模式時，研究團隊也發現當車隊行駛速度提高時，駕駛人會變得更加敏感，使得後方的跟車者對於前方車輛變化的刺激做出更靈敏的反應。因此，又把跟車者的速度列入考慮（其中αʹ是一個待校估的參數）而形成新的模式：式（6）。最後，研究團隊統整過去的研究，把一至四代的模式以一個通用模式表示，並透過跟車模式係數αl,m來決定模式的型態，其中l定義為車頭距係數；m定義為速度係數，就成為第五代跟車理論模式：式（7）。
跟車模式發展至今，並沒有就此結束。因為GM所發展的模式，是在受控制的實驗環境中進行的，並沒有考慮到許多真實世界中複雜的車流特性與人類行為。因此，跟車模式的研究至今仍然不斷地發展，也是交通學者持續努力探討的課題。
整個跟車模式的發展，除了實地觀察車流行為外，也透過許多實驗來驗證與校估模式。模式從第一代到第五代的發展，顯示出物理學家的好奇與研究精神。
其實，赫曼博士與研究團隊常說，即使實驗環境如此單純，仍然有許多因子會造成模式的不穩定，其中又以道路上行駛車輛的密度最為相關。這種現象在流體力學中早已發現，對於高密度的流體，長波長的干擾會劇烈地影響流體的流動，近年來的研究更發現，這樣的干擾現象可透過混沌行為學來解釋。
另一方面也發現，加速變化的干擾對於車隊中第一輛領導車的影響是極小的，但對於越後方的車輛影響越大。為消除干擾對於模式產生的不穩定影響，GM研究團隊在透過大量實際資料的驗證下確立上述模式後，陸續加入了更多的影響因子，使模式的解釋能力更趨於完美，同時探討了車流波穩定的條件。
研究活動
赫曼博士持續在交通科學上有許多創造性的貢獻，例如他以似波茲曼模式為基礎，發展出多車道車流動力學理論，並與其他學者延續這車流動力學發展出可描述城市交通的兩流體模式。這一理論模式已經透過不同都會區的資料獲得驗證。
即使投身於新領域的研究，赫曼博士也沒忘記物理本行的研究。1950年代末期，他與史丹佛大學的霍夫史達特（Robert Hofstadter）合作，利用史丹佛大學的線性加速器，進行高能量電子被核子散射的實驗，這一研究增進了對核子內部結構的了解，至今已廣被接受。1961年，霍夫史達特也因此獲得諾貝爾獎。
1979年，赫曼博士接受德州大學奧斯汀分校的聘書，擔任物理與土木工程系教授，再一次把自己定位為一位教師、年輕人的導師。即使在他成為L. P. Gilven Centennial的榮譽教授後，仍專注於交通科學的研究，並持續提出新的理論與發現。
或許是本性使然，他並不局限自己的活動在科學方面。1980年代中期，他從事了一門截然不同、但頗具創造性與意義的研究－雕刻。他的創作先後於1994及1996年在華盛頓特區國家工程學會和田納西州納許維爾（Nashville）展覽，部分作品還被德州大學奧斯汀分校永久收藏。
3種基本熱愛
綜合赫曼博士的演講、朋友的評論與日常生活的討論，我們發現赫曼博士具備3個基本熱愛：對人類精神的熱愛、對科學和真理探究的熱愛、對生活的熱愛。他以言語及實例激勵他的同事，使他們能發揮全力。他幫助他們了解科學研究中的喜悅，事實上他們也因此而做得更好。
他自己不僅研究科學，更活在科學中，從每天的生活經驗中尋找科學的起因與緣由。見過他的人對於他尋求真理的精神都印象深刻，赫曼博士也常引用古西臘哲學家赫拉克賴脫 （Heraclitus）的名言來勉勵年輕學者：「大自然喜歡隱藏。」（Nature seeks to hide）
近年來赫曼擔憂文明的發展有逐漸偏向實用而忽略基礎研究的傾向，因此他常勉勵大家「不忘懷基本知識來自何處」。在運輸研究委員會1993年的Roy W. Crum Distinguished Service Award頒獎時，赫曼博士也提出這項觀點，並以達文西為例說明重視基本知識的重要，他引用了達文西說過的一句話「熱愛工作但沒有科學方法去實行，猶如一個水手在一艘船上而沒有舵或羅盤一樣，不知將往何處」。
在不同的受獎場合中，赫曼博士也常常幽默而謙遜地提到：「……我由衷地感謝接受這重要的榮譽，我想附帶說明一點的是，從經驗中我學到一件重要的事情─假如你活得夠久，美好的事物也會跟著發生。」
後記
筆者有幸在美國攻讀博士學位期間，修習了赫曼博士開授的「高等車流理論」，並數次修習「交通科學研討」。除了課堂上的互動外，也常私下向其請益，受到赫曼博士在教育與研究上的教誨與影響甚大。赫曼博士嚴謹執著的治學態度、有教無類的教育精神和對學生的循循善誘，都深深地令筆者感動。筆者在博士論文的誌謝詞中，曾寫下一段感謝赫曼博士的話：「I have been fortunate to know Dr. Herman, and have benefited from his advice, experience, and discussions in research, science, philosophy, and life.」
