數學：蝴蝶定理
100/03/04
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黃俊瑋｜
臺灣師範大學數學系
非歐幾何學的誕生，無疑為幾何學的發展開拓了一條前所未有的康莊大道，歐氏幾何學因此不再是唯一的真理，取而代之的是各種幾何學的蓬勃發展。然而，數學家並不滿足於這樣的榮景，各種幾何學之間的聯結與彙整，成了下一座有待超越的里程碑。
藉由變換群（transformation group）的概念，各類幾何學的圖形在各類變換下保持不變性。於是，幾何學與群相對應的過程，聯繫了貌似不相干的各種幾何學，不僅清楚地劃分了歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何、雙曲幾何等不同幾何的本質，也建立起各種幾何學間的結構關係。譬如在克萊因（Felix Klein）的分類中，歐氏幾何是仿射幾何的特例，仿射幾何則是更廣泛的射影幾何的特例等。
界定了歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何等不同幾何學之後，我們所擁有的一般幾何知識也就可以分類。例如，古典的希臘定理帕布斯定理，便可歸屬於 17 世紀才誕生的射影幾何，而由於畢氏定理涉及了長度的概念，因而只隸屬於歐氏幾何的範疇。就數學學習與解題來看，這樣的分類往往是重要而極具意義的。
當我們面對一個數學問題時，一旦使用了恰當的概念工具箱，這個問題或許會變得很簡單；反之，若是選了不合宜的概念工具箱，就可能變得相當複雜而困難。在本文中，以著名的「蝴蝶定理」為例，說明數學家如何從高觀點捕捉這個翩翩起舞的定理。
翩翩起舞的定理
蝴蝶定理—已知一圓與其上一弦 AB，且 M 是 AB 的中點。過 M 點畫弦 PQ 與弦 RS，令弦 PS 與弦 RQ 分別交弦 AB 於 U、V 兩點，則 M 也是線段 UV 的中點。
這個定理最早是以徵答的方式，出現在 1815 年英國出版的雜誌《男士日記》（Gentleman's Diary）上。當時，自學成才的中學數學教師霍納（W.G. Horner）用初等幾何的方法給出了第一個證明。此後，熱愛數學或解題者相繼提出了不同的證法。不過，其中最簡潔的證法，莫過於利用射影幾何，而其關鍵便是應用交比（cross ratio）的概念。
至於「蝴蝶定理」（Butterfly Theorem）這個名稱，則是首度出現在《美國數學月刊》（American Mathematical Monthly）1944 年 2 月號中。顯然，這是由於定理中的圖形肖似飛舞的蝴蝶而得名。時至今日，仍然有一些數學愛好者持續研究這一定理，甚至在各種考試場合會出現變異的版本。不過，直到近數十年來，數學家才陸續發現比較簡單的初等證明，足見它的確具有本質上的難度。
初次面對這個問題時，一般人大概都會嘗試引入各種初等幾何學的性質，例如，作垂線、角平分線等輔助線，來觀察諸如角 S 與角 Q 相等的角，接著，再利用相似三角形或全等三角形的邊角關係來解決這個問題。但是，在沒有適當工具或提示的情況下，要想捕捉這隻翩翩飛舞的美麗蝴蝶，恐怕不是一件簡單的事。
當然，面對這類問題時，通常可以採取下列步驟。首先，引入平面座標系，把幾何問題轉換為代數問題，寫出各直線的方程式，再找出交點 U 與 V 的座標。只要願意並耐住性子，小心地進行代數符號操作與運算，最終便能確定 M 就是 U 與 V 的中點。
然而，從證明的功能與意義來看，這樣的方式除了能核證命題的正確性之外，並未提供進一步的說明或進行結構層面的溝通，更不用說獲得新的啟發或達成系統化的效用了。因此，在數學家的眼中，這種冗長的代數操作過程就像個黑盒子，無法為我們帶來洞見，當然更無助於深入了解所要解決的問題。
高觀點的證明
現在，試著尋找巧妙的想法。如果願意從不同的觀點重新檢視這個問題，說不定它的實質內容會變得簡單而清晰。其實，這也是多數數學家採行的方法。在這裡，把「蝴蝶定理」看成是射影幾何的命題，而不只是屬於歐氏幾何而已。如此一來，便可以跳脫歐氏幾何常用的概念工具，從更抽象且一般性的理論著手。
無論蝴蝶如何飛舞，左右翅膀始終維持相似形的比例對稱關係，而翅膀上的 U 與 V 點，就像蝴蝶天生的平衡感應器，永遠會在中心 M 的左右側達到平衡，使得蝴蝶能保持平穩地翩然遨遊。此外，若把 AB 下方的 S 點、Q 點與上方的 P、R 兩點進行角色互換，也可以得到相似的證明。
附圖中證明除了可達到核證命題正確性的目的外，也可做為讀者思維與智力的挑戰。更重要的，它還能清楚地說明定理為何成立，從而引領我們洞見整個定理及圖像背後的結構與對稱之美。此外，這一證明還可做為初等幾何學難題與抽象理論兩個層次之間的溝通橋梁。若再借助射影或反演變換，還可進一步把本定理進行系統化的延拓，從而發現嶄新的幾何性質。事實上，上述證明滿足了數學教育家 De Villiers 在 1999 年所發表的有關證明的六大功能，值得讀者品味再三。
對稱的本質
除了前述的簡潔證法外，在數學家或數學解題熱愛者的努力下，還有許多不同的方法問世。在這裡，筆者提供一個中學生可以理解的初等幾何證法。從這一個以及其他初等證明之中，可以很清楚地發現本定理蘊藏的幾何本質—對稱性。
證明方法（利用初等幾何的對稱性） 如附圖，通過圓心 O 連接直線 MO，作 R'R 垂直 MO 直線並交圓周於 R'，R' 成為 R 關於直線 MO 的對稱點。因此，?R'MT ? ?RMT，所以
MR ＝ MR' （1）
連接 R'M、R'U 與 R'P，因為 M 是弦 AB 的中點，所以 MO 垂直 AB，因此 AB//RR'，則 ∠R'MU = ∠RR'M 且 ∠R'RM = ∠RMV。又因為 △R'MT～＝ △RMT，所以 ∠RR'M = ∠R'RM，即
∠R'MU = ∠RR'M = ∠R'RM = ∠RMV （2）
但由於 R'PSR 四點共圓，可得 ∠R'PS + ∠R'RS = 180°，也就是
∠R'PU + ∠R'RM = 180° （3）
由（2）、（3）式，可得 ∠R'PU + ∠R'MU = 180°，即 R'PUM 四點共圓，則
∠UPM = ∠UR'M = ∠MRV （4）
最後，根據方程式（1）、（2）及（4），△R'MU ～＝△RMV，因此，MU = MV，證明完成。
上述證法僅僅利用了初等幾何知識而已。這種初等證法的策略，不外乎巧添與對稱或垂直有關的輔助線，藉以造出相似三角形或全等三角形，而得到線段的比例或相等關係。再加上本定理架構在圓上，因此，諸如等弧對等角、四點共圓等與圓相關的性質，也拓展了可應用的概念工具範圍。在本證明中，主要由於 R'PSR 四點共圓而得 ∠P ＝∠R，再利用 R'PUM 四點共圓，把角 P 移至角 R'，造出△RMV 的對稱圖形△R'MU，而得證。
由上述兩個證法可知，蝴蝶定理及它的證明揭示了幾何本質上的對稱性。不過，這一點也不令人意外！根據 Mario Livio 的說法，對稱性位於科學、藝術和知覺心理學的樞紐要衝，對稱性代表形式、定律和數學客體的強固核心，經過變換後依舊維持不變。
正如同蘊藏在許多自然律或人為現象背後共通的性質一般，在證明蝴蝶定理時，無論採用的方法是射影幾何的交比概念也好，其他初等幾何證明也好，「對稱性」的掌握都是一大關鍵。當然，條件中的圓是完美的對稱圖形，左右「翅膀」的相似性，還有線段 AM ＝ MB 的性質，以及定理結論中的 UM ＝ MV，無一不具對稱的關係。
這些表面上不同的證明，卻說明了同樣一件事—這個定理的本質是對稱的。證明過程中所加入的輔助線，都呈現並保持了左右對稱的關係。也就是說，透過對稱性及外接圓，連結了左右翅膀上的圖形（無論是線段、三角形或圓形），從而證明了這個定理。這樣的對稱本質，也見證了蝴蝶定理，乃至數學結構之美。
高觀點帶來洞見與突破
當初次面對某些數學難題而感到束手無策時，訴諸高觀點或拔高理論層次，都是值得且可行的想法。就蝴蝶定理的例子而言，雖然它有許多初等的證明方法，但倘若從射影幾何的俯瞰角度切入，洞見蘊藏在內的數學結構，再利用更抽象而一般的工具，問題的脈絡就變得更加簡單而清晰。
事實上，數學發展史上也不乏類似的情況。數學家們苦思多年不得其解的問題，往往必須訴諸更抽象且一般性的理論，才能看穿隱藏在渾沌不清表象背後的數學結構，問題最終才得以解決。這些史實也呼應了克萊因的想法，當尋常的路徑不能導致成功時，不應輕易放手，而應激勵自己去尋找新的和比較走得通的道路。
譬如，古希臘人早已解決了二等分任意角的問題，但是經過了兩千多年，對於是否可以用尺規作圖三等分任意角、化圓為方或倍立方等難題，數學家們始終不得其解。然而，隨著符號代數和解析幾何的發明，數學家意識到透過不同路徑與工具來解決幾何問題的重要性，而不再局限於純粹的幾何方法。
在這種情況下，數學家不只關注於幾何物件（object）的屬性與操作（是否一個角可以二等分或三等分），他們更進一步地研究運算（operation）的本質（其底蘊的代數表徵與結構），進而把尺規可作圖性問題，轉換成為實數的可作圖問題。當數學家更深刻地研究與了解相關理論後，最終得以證明幾何作圖的可能性問題，也了解為什麼某些可作圖，另一些則否。
在解方程式方面，自 16 世紀義大利數學家塔塔利亞（Tartaglia）、卡丹諾（Cardano）與費拉里（Ferrari）解決了三次與四次方程式的一般性公式解法後，五次或更高次的代數方程式是否存在一般性的根式解法，便成為數學家們的一大挑戰，而舊方法所面臨的阻礙與失敗，也引發數學家們對於數學前景的悲觀想法。後來，有賴於伽羅瓦（E. Galois, 1811-1832）引進群與體的概念，從高層次的抽象理論，了解並掌握四次方程可解與五次方程通常不可解的原因，代數方程式的根式解問題才完全解決。
總之，運用群論和體論的高觀點，數學家把古典幾何的 3 大不可作圖難題，轉換為實數的可建構性問題，或者把古典代數的方程式公式解問題，化約為可解群的問題，並最終得到解決。還有，困擾古希臘數學家的「不可公度量」（或無理數），必須透過整個實數的結構與形式運算的表徵，才能更清楚地賦予意義。又，高斯藉由他的同餘理論，可以有系統地收納中國餘數等定理，並解決了不定方程的相關問題等。這些例子在在提醒我們，系統性與結構性知識的重要性。
另一方面，正如數學教育研究發現，專家或優秀的解題者除了在知識上具有良好的連結性，並因而組成豐富的認知基模（schemas）之外，他們在解題的過程中，也主要聚焦於問題的結構特性。當我們遭遇數學難題而摸不著邊際時，不妨拉高理論層次，重新看待。站在高觀點，從全新的視野俯瞰較低層次知識間的結構與連結，或許可讓我們洞見一條更寬廣而邁向成功的康莊大道。
翩翩起舞的蝴蝶定理為我們指引了一條美麗且明慧的道路，千萬不可等閒視之！
