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與許志農一同遨遊奇幻數學殿堂

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葉孋嬋｜《科學發展》特約文字編輯

過去，上數學課可能是許多學生的夢魘，制式的數學教育，常著重於培養學生計算能力，教授學生如何解題，課本、講義、考卷上密密麻麻的算式，耗費了許多墨水，也逐漸磨去了對於數學學習的熱情。現在，師大數學系許志農教授要帶你進入數學的藝術殿堂，發現生活中的數學，享受充滿數學之美的生活！

解開錯覺藝術大師艾薛爾的版畫秘密

踏入許老師的研究室，立刻被色彩鮮艷的圖畫所吸引，仔細瞧瞧，這些畫大多是由單一圖案，如蜥蜴、狗、稻草人等，或是兩種圖案，如蝴蝶與魚、鳥與魚，旋轉不同角度鑲嵌而成，如同一塊塊磁磚，拼出一整面美麗的圖畫。「這些都是從荷蘭版畫家艾薛爾¹（艾雪）畢生所畫的137幅平面鑲嵌版畫而來的！」許老師說。艾薛爾利用了密鋪平面的原理，將平行四邊形、正方形或正六邊形等幾何圖形鑲嵌鋪滿整個平面，並運用面積互補的原理，將幾何圖案進行切割、平移、旋轉，巧妙地創造出彼此能夠完美契合的圖案，達成畫面可無限延伸之效果。而許老師團隊則是希望一窺這位二十世紀平面藝術大師的創作思路，將作品中蘊藏的幾何規律解構出來。

打開許志農教授所架設的「非想非非想數學網」，令人著迷的各式數學遊戲、艾薛爾版畫解析等flash小遊戲及動畫，讓人一不小心就忘卻了時間。許老師團隊將艾薛爾鑲嵌版畫，分別利用flash動畫，從最簡單的幾何圖形開始，一步一步告訴閱聽者，艾薛爾如何從菱形切割出一個稻草人；抑或是如何從一個正方形，變出截然不同，卻又能毫無縫隙地緊密鑲嵌在一起的天使與惡魔。許老師與他的四位研究生已解析出80幾幅作品，只要點擊許老師的Q版人像，便能觀看切割步驟動畫、玩拼圖和著色！而每一幅作品皆有自己的工作單，讓閱聽者能做進一步的數學思考。

化身小小艾薛爾

「了解艾薛爾是如何構圖之後，你也能創造出屬於自己的鑲嵌圖案！」許老師說，林口國中與弘道國中的師生們，利用艾薛爾版畫中所使用的「面積互補」與「密鋪平面」原理，創作出許多精彩的類艾薛爾作品。數學與藝術創作是密不可分的，如同艾薛爾曾說過：「對我來說，這些作品到底是數學？還是藝術？仍然是個疑問。」我們能運用數學創作出藝術作品；而藝術創作也蘊含著數學原理。

與故宮合作推廣艾薛爾鑲嵌藝術

許老師也為今年（2014）在國立故宮博物院展出的「錯覺藝術大師-艾雪的魔幻世界畫展」，製作了《日與夜》、《循環》、《天與水一》與《蜥蜴》四部精彩的數位多媒體影片，讓參觀的民眾能夠對艾薛爾的作品有更深刻的認識。同時許老師也協助畫展志工的培訓，為志工們講解艾薛爾作品中蘊含的數學概念，以期他們能為來訪的民眾解開艾薛爾迷蹤式的構圖，體驗這門迷人的數學藝術。

從生活周遭學數學

「數學要做成大眾有興趣的科普活動是較為困難的。」許志農說，因此他選擇揉合數學與藝術的艾薛爾作品以及生活中常見的遊戲，如井字遊戲、象棋、圍貓遊戲等，作為切入點，點燃大眾好奇心，激發其興趣。然而，解析艾薛爾版畫並不是件輕鬆簡單的事。首先要能分辨出，圖案是由哪一個幾何圖形作為骨架，再去嘗試不同的切割、平移、旋轉方式，研究出來的切割方式也可能與艾薛爾原來的做法不同。當圖案輪廓完成後，再交由美術系的學生進行美編以及動畫製作，最後加上配樂，才有我們現在看到的成果。所有作品都有詳細的文字解說，平均每一個作品完成所有的步驟需耗費一個月的時間。其中，最複雜的作品《三十六計》，共有三十六隻動物鑲嵌在矩形上，光是美工就足足畫了一個多月才完成呢！

此外，許老師將所蒐集數學遊戲，以生動活潑的文字，告訴大家這些小遊戲背後的歷史。並說明如何用數學的思考邏輯以及數學公式，推算出最佳的行動，讓你能在這些遊戲中取得勝利！除了數學文章寫作之外，許老師也陸續將各項數學遊戲，製成flash動畫，讓大眾能以更簡單便利的方式，輕鬆玩數學！

註：
[1] 摩利茲‧柯尼利斯‧艾雪（Maurits Cornelis Escher 1898-1972）為知名的荷蘭版畫藝術家，被譽為二十世紀平面藝術大師，也是藝壇奇葩。宇宙、白日夢、無限、幾何、規律、感知、鏡子、遊戲或魔術師等都是艾雪的代名詞。其活躍於義大利、瑞士、比利時與荷蘭地區的60年間，也正好是歐洲歷史上充滿混亂與革命的時代。艾雪的作品反映出幽微的內心世界，是他對於當時歷史事件的反思，也反應了他探求宇宙秩序奧秘的渴望。他以藝術創作呈現出一個獨特、充滿美感，並井然有序的美麗世界。（資料來源：國立故宮博物院）

許志農

國立臺灣師範大學數學系教授　
「遊戲中的數學，數學中的遊戲」計畫主持人
e-mail：maco@math.ntnu.edu.tw

非想非非想數學網：
http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/

資料來源

轉載自「科普新村」人物專訪，本系列文章係由科技部補助「辦理科普活動計畫年度成果發表會及成果彙編（ST5）」計畫執行團隊採訪。

科發月刊(5210)

與許志農一同遨遊奇幻數學殿堂

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