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數學：碎形維度怎麼算

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洪萬生｜臺灣師範大學數學系教授

一般來說，維度（dimension）是一個非常直觀的數學概念。譬如說，我們生活在「三維」空間之中，直線是「一維」的幾何圖形，平面則是「二維」的。此外，我們也知道圓盤（disk）（圓所包圍的平面區域）是二維的幾何圖形，它的周界是一維的圓，卻能把圓盤全部包在裡面。換句話說，一維的圓形圍住了二維的圓盤。

不過，這種例子卻無法適用於一維對三維。譬如我們無法利用一個圓圈把犯人（一個三維的物體）關在裡面，因為一般的牢房須是有六個面（二維）的房間。這種討論也常出現在科幻小說中，假設外星人是四度空間的生物，那麼，在我們這個三度空間中所看到的所謂「外星人」，應該只是它們的影子。因此，地球人當然很難對抗外星人了。試想，如果你很用力地踩打我的影子，我會痛嗎？

事實上，如果科幻小說作家願意學習亞波特（Edwin Abbott），以「平面人」（flatlander）進行思考，多從事一點數理想像，「奇幻」的情節或許就會多一點知識味吧。19 世紀德國數學大師黎曼（Bernhard Riemann, 1826-1866）在進行有關曲面的研究時，就「設身處地」採取了二維的思考方式，因此得以建立一種最能反映曲面自然本質的「尺度」。

黎曼在他的〈論幾何學的基礎假說〉一文中，曾指出：「在曲面的了解上，內在的度量關係雖然只和曲面上路徑的長度相關，卻往往和曲面與其外部點的相對位置扯上關係。然而我們可以自外在關係中把曲面抽出，方法適用一種不改變面上曲線長度的彎曲；亦即曲面只能加以彎曲，而不能伸縮，因彎曲而產生的各種曲面都視為相同。因此，任何的圓柱面和圓錐面、平面是相同的，因為只要把平面彎曲便可形成錐和柱，而內在度量關係不變，所有關於平面的定理—整個平面幾何學，都仍然有效。反過來說，球面和上述的三種面則根本上不同，因為由球面變成平面勢必要伸縮。」這是對於曲面的內稟性質（intrinsic property）研究的一個最鮮明主張！

我們不妨以「二維生物」自居，來想像如何在彎曲的表面上爬行，而不覺得「地面」是彎曲的。這種二維生物顯然不存在於自然界，因為再怎麼「扁平」的生物，應該還是有第三個維度。無論黎曼是否使用這個二維生物的比喻，他的數學洞察力引導了我們進入一個二維，以他的姓氏命名的黎曼幾何（Riemannian Geometry）的想像世界。

顯然，黎曼的非凡創意來自於他把人類的維度降低了一維，以便進行貼近曲面的「在地思考」，從而創造出一套前所未有的幾何學，這大概是以維度「降低」的模式思維的好處。相反地，我們不妨考慮維度「提升」的情況，看看是否可以更逼近地理解大自然的奧祕。

這種比一維多一點的圖形，我們稱它是碎形（fractal）。不過，想直觀地認識它的維度，似乎不是容易的事。平心而論，維度的定義是極其抽象的。然而，科普作家還是能夠找到極佳的下手處，讓我們可以輕易地理解與掌握！現在，請碎形出場亮相吧！

碎形

Fractal（碎形）這個字出自拉丁文 fractus，其意是「碎成不規則細片的狀態」，是由生於波蘭，長於法國的數學家曼德布洛特（Benoit B. Manderlbrot, 1924-2010）在 1970 年所命名的。其實早在 1950 年代他就已提出這一概念，卻不受重視。直到科學家陸續發現自然和社會現象中都隱含碎形的存在，他的研究成果才逐漸贏得學界的重視。

曼德布洛特在巴黎工藝學院（Ecole polytechnique）就讀時，就從他的叔叔（法蘭西學院數學教授）處習得類似的概念，但他並不以為意。直到進入 IBM 實驗室從事研究時，由於擁有極大的自由度，才開始專注於這一主題。

曼德布洛特發現碎形具有「自我相似」的特性。以雪花的結晶為例，如果把雪花放在顯微鏡下觀察，可以發現相同的花樣不斷變小，類型卻一再重複出現。同理，在海岸線、閃電、樹枝乃至股價變動上，也看到了類似的特徵。無怪乎在他所獲頒的諸多榮譽博士學位中，也包括了來自人文社會領域的表彰。

曼德布洛特之前的數學家又是如何引進碎形的呢？德國數學家考區（Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924）曾經造出一種現在稱為考區曲線（Koch Curve）的碎形。這個曲線的特徵是，如果擷取考區曲線的一部分按比例放大，會得到與整體一樣的圖形。

另一個例子是由波蘭數學家史賓斯基（Waclaw Sierpinski, 1882-1969）所發現的。他的造法很簡單，先把正方形分成 3 × 3 = 9 等份，拿掉正中央的正方形；把剩下的 8 個又各自分成 3 × 3 = 9 等份，再拿掉各自正中央的正方形；依此重複進行，將可得到一個具有自我相似特性的碎形，這一結果今日稱為「史賓斯基地毯」（Sierpinski Carpet）。

碎形維度

在介紹碎形維度之前，不妨先注意考區曲線的圖形特徵。顯然，它是把線段無限多次彎曲折疊擠壓而成，因此，猜測它的維度比一維高一點點，似乎還算合理。另一方面，這一曲線並未遍布整個二維的平面，因此應該比二維低。同理，推測史賓斯基地毯的維度也是介於 1 與 2 之間。

然而這種非整數的維度究竟是怎麼計算的呢？這就必須提及德國數學家豪斯多夫（Felix Hausdorff, 1846-1942）的研究成果了。他曾對實變分析學（real analysis）中的測度論（measure theory）做出不朽的貢獻，其中與碎形維度有關的兩個重要概念—豪斯多夫測度（Hausdorff measure）和豪斯多夫維度（Hausdorff dimension），都是因為歸功於他而命名的。不過，由於他的定義實在太抽象，不妨另引數學家史都華（Ian Stewart）的說明來幫助我們理解。

他取了兩條等長的繩子，把兩端對齊，則尺度大小（size）當然是 2 倍。若取一個正方形紙片，將需要 4 個拷貝（複製品）才能加倍這個正方形的尺度大小。若給一個正立方體的起司，則需要8個拷貝才能加倍尺度。以此類推，如果給的是一個「四維的起司」，需要 16 個拷貝。換句話說，要加倍一個 d 維的「超立體」（hypercube，三維立體的延拓），必須有 c = 2^d 個拷貝。如此一來，兩邊取對數，即得

log c = log2^d → d = log c／log2。

現在，給定一個物體，如果把它的3個拷貝黏在一起，尺度大小會加倍，則按照上述定義，這個物體的維度就等於 d = log3／log2 = 1.44427…… 這當然就不是整數了。更一般地，如果把一個 d 維的超立體的尺度變成 a 倍時，需要 c = a^d 個拷貝，那麼 d = logc／loga，這個超立體當然就是一個碎形，而這個 d 就是所求的碎形維度。

以上是傑出數學家史都華在他的數學科普著作《數學的問題》（The Problems of Mathematics）中的說明。我們再引述日本數學家小島寬之如何「用小學數學看碎形」。他先是「以 4 個縮小為 1/2 規模的正方形會組成原來的正方形」為切入點，再考慮「8 個圖形Ｘ的 1/2 縮小圖可以組合成圖形Ｘ」的問題，最後則以史賓斯基地毯為例，說明碎形維度的意義。

令史賓斯基地毯是Ｓ，則把 8 個Ｓ的 1/3 縮小圖黏在一起或拼排起來，會成為原來的Ｓ。現在，假設Ｓ的維度是 m，則下式成立（其中等式右邊的 1 代表Ｓ的面積）：

(1/3)^m + (1/3)^m + (1/3)^m + (1/3)^m + (1/3)^m + (1/3)^m + (1/3)^m + (1/3)^m = 1

如此一來，8 × (1/3)^m = 1，兩邊取對數，便可得 m 大約等於 1.89。由於這個維度比 2 維低，因此史賓斯基地毯沒有「面積」，因為在初等數學中，圖形必須有二維才能計算面積。

同理，小島寬之也計算了考區曲線的維度大約等於 1.26。由於這個維度比 1 維高，因此考區曲線不是「線」，可是它也離二維（平面）很遠，所以它稀稀疏疏地散布在平面上，維度比史賓斯基地毯的維度低很多。無怪乎看起來，考區曲線相對於史賓斯基地毯，所謂的「朦朧感」或「覆蓋率」的確有明顯的差別。

正方形或圓形的周界與它們內部或外部之間，顯然可以切割得清清楚楚，涇渭分明，不可能會出現所謂的「朦朧感」，這是整數維度的特性。這種現象也極為自然，以致我們通常習焉而不察！要不是 20 世紀初的數學家造出這些相當「怪異」，甚至被一些偉大數學家視為「病態」的圖形，從而由豪斯多夫尋求定義來描繪它們的特性，今日大概很難想像我們的周遭存在了那麼多的碎形。當然，曼德布洛特的臨門一腳，讓碎形幾何終於堂而皇之地進入了數學的殿堂。

碎形在過去數十年內，已經成為科普寫作的新寵材料。不過，大部分的作品都無法運用淺顯易解的方式，把它的維度說個明白。在本文中所引述的史都華和小島寬之兩人的說明，當然是相當珍貴的例外。究其原因，他們兩位在說明碎形維度時，都不約而同地指出，一般的維度是一種拓樸學的概念，但是拓樸維度（topological dimension）都等於 1 的雪花與圓形，從碎形觀點視之則完全不同。可見，針對碎形維度時，距離結構（metric structure）也應該納入考慮。

數學普及作品介紹了簡易的方法，告訴我們碎形維度怎麼算！這是科普文章值得大力推廣的主要原因。如果大家都只是炫於碎形「令人震撼」的美感，而無從思考碎形幾何的深刻意義，那麼，當科幻小說家創造出一個三又二分之一維的外星生物時，我們大概就難以評估這些生物的行為是否「合情入理」了。

深度閱讀

小島寬之（2010）用小學數學看世界（陳昭蓉譯），世茂出版社，臺北。
Abbott, E. (2008) Flatland: The Movie Edition, Princeton University Press, New Jersey.
Stewart, I. (1987) The Problems of Mathematics, Oxford University Press, New York.

資料來源

《科學發展》2011年3月，459期，6 ~ 11頁

碎形維度(1)

數學：碎形維度怎麼算

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