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曆的故事

91/09/05 14148

曹亮吉｜大學入學考試中心

舊世紀什麼時候結束，新世紀什麼候開始？新世紀的第一道曙光在哪裡看得到？這些是歷史的問題，也是地理的問題，而且都是曆的問題。

現在我要講八個和曆有關的故事，彼此不一定相連，但整體來看，希望能說出曆的大致面貌。

耶穌生在耶穌紀元前四年

我們說今年是二○○二年，用的是西元。西元又稱為公元，因為世界上大部分的國家都採用它，至少在國際間的公務往來是如此。西元也稱為耶穌紀元，原意是從耶穌誕生後第二年開始起算。

當耶穌在世時，祂的影響力還沒大到可以樹立年代的里程碑。祂的行跡所至，大概都在羅馬勢力範圍內，公共事務是以羅馬曆法為依據，而描述耶穌個人行誼則用猶太曆法。

耶穌死後，基督教逐漸興起。基督教最重要的節日就是復活節─耶穌死後三天復活了；這是神的啟示。一開始，復活節在一年中哪一天，並沒有一致的規定。羅馬皇帝君士坦丁為影響基督教，在西元三二五年舉行基督教大公會議，尋求基督教義的統一，並規定復活節在「春分之後第一個月圓後的第一個禮拜天」（如果月圓剛好是禮拜天，就順延一星期。），所以，復活節是羅馬與猶太兩曆的混合產物。

這樣的規定牽涉到三個周期：春分（一年四季之中有兩天的日和夜等長，春季的那一天稱為春分），月圓與太陽的回歸、月亮的盈虧相關，禮拜天則是星期周期的特殊日子。因為一般人很難推算出來，於是教會就找有學問的修士，推算往後幾年復活節的日子，並周知教友採用。

修士推算復活節，首先面臨紀年的問題–他要說某某年的復活節是幾月幾日；某某年要怎麼說呢？當時用的是羅馬皇帝戴克利先（Diocletian）的紀元，由於戴克利先曾經屠殺基督徒，基督徒很難接受以這充滿血腥的紀元來推算復活節。

輪到西徐亞（Scythia︰現在的摩達維亞Moldavia）地方的修道院院長「矮子但尼斯」（Dionysius Exiguus）推算復活節時，他想到何不用耶穌紀元呢？因此，以耶穌出生後的第二年為耶穌紀元元年。從各種資料推算，他認為當時已經到了耶紀五二五年。耶穌紀元從此就漸漸傳開來使用，變成了西元紀年，公元紀年。

不過，經過後人仔細考證，耶穌並不出生在耶紀前一年，而是前四年。所以千禧年並不等同於耶穌誕生千年紀念或二千年紀念。

八世紀時英國的聖徒貝德（Bede）算過復活節，也用耶穌紀元來寫英國史，回溯到耶穌紀元前六十年的事。但在他的系統中，沒有耶穌紀元零年。也就是說，耶穌紀元前一年的次年，就是耶穌紀元一年。換句話說，紀元前一年最後一天過完後，第二天就是紀元後一年的元旦。

在這樣的系統下，耶穌紀元的第一個百年，也就是一世紀，只好從紀元一年開始，到一○○年結束。二世紀從一○一年開始，到二○○年結束。二十世紀從一九○一年開始，到二○○○結束。那麼新世紀就從二○○一年開始，…

參加倫敦奧運會，帝俄代表團遲到十二天

一九○八年，奧林匹克運動會在倫敦舉行，帝俄代表團遲到了十二天，抵達時運動會已經結束。這樣的烏龍事件要怪誰呢？是陸上或海上交通耽誤了？還是邀請函日子寫錯或看錯日子？正確的答案是：英俄兩國採用的曆法不一致，兩者相差了十二日。

凱撒在西元前四十五年，建立了西方的陽曆系統。規定平年365日，每四年有一閏年，增加一日，所以平均一年長為365.25日。

凱撒的陽曆年平均長度，與真正的回歸年（地球公轉一周回到原來的地方所需要的時間）長365.2422日相較，其實算是相當準確的。然而俗諺有言：失之毫釐，謬以千里。就那麼一點點的誤差，讓日曆上的春分與天文上的春分漸行漸遠。

一五八二年，教皇格雷格利（Gregory）十三世宣布改曆，內容有兩大重點：其一，把該年十月五日直接跳成十月十五日，以糾正已經造成的錯誤，讓日曆與天文的春分相互吻合。其二，修改曆的設計，使得往後不會再發生誤差。他規定，從一六○○年開始，每四百年為一周期，在此周期內，每四年一閏，但第一百、二百、三百年則免閏。如此，則四百年九十七閏，那麼，陽曆年的平均長為365（97／400）＝ 365.2425日，與真正的回歸年只有萬分之三日的誤差。這就是我們現在所用的陽曆。

格雷格利教皇的改曆正值宗教改革時期，反教皇的基督教國家一開始都拒絕採用，後來基於科學現實，才陸續改用。歷史上更早從羅馬天主教分出去、地理上相隔更遠的東正教國家則是堅持不改，以致發生了帝俄奧運代表團的烏龍事件。

一九一七年，帝俄發生十月革命，改為蘇聯，採用格雷格利的陽曆。不過請記住，革命是發生在舊陽曆十月，而依新的陽曆，則應為十一月革命。

新世紀的第一道曙光，哪裡看得到

地球上哪個地方最先進入新世紀？這個問題比曙光的問題要簡單。國際換日線劃在太平洋中，大致以東西經一百八十度為準，不過，為了兼顧共同生活區應在換日線的同一側，所以線劃得有些曲折。在換日線的西側，離換日線經度方向差異最小，而有人居住的地方（只有人才關心新舊世紀的區別，不是嗎？），每天都最先進入新的一天，當然也就最先進入二十一世紀。

理論上，換日線上的點都是得第一的所在，可是這些點都在大洋中，如果想爭取第一，就得坐船到換日線上；不過要很小心，稍有不慎，漂到換日線的東側，就成了最後進入二十一世紀的人了。

大家更在意的是，哪裡看得到新世紀的第一道曙光。為什麼？「一日之計在於晨」的曙光看得見，午夜時刻可是悄悄溜過。對了，為什麼規定一天的開始是午夜呢？不特別為什麼，袛是曆上大家同意這樣的規定。生活上，印度人一日之始在於晨，猶太人、阿拉伯人則一日之始在於昏，天文觀測者日夜顛倒，一天是從正午開始的。

太陽光總是照著半個地球，所以地球上黑夜白天的分界線是個大圓。這個大圓隨時間、隨季節而變動。地球上有地方剛進入了新世紀，這個大圓還在國際換日線的東側，但漸漸逼近它。理論上這個大圓與換日線開始碰觸的地方，就是第一道曙光出現的地方，不過它在海中。就是只考慮換日線西側，大圓最先碰觸的陸地也不一定是，因為可能烏雲遮住了曙光，也可能在附近西側地方的小山丘上更早看到了曙光，…。

國際換日線是很人為的規定，當初要是劃在臺灣的東側外緣，那麼我們的觀光業就可藉機大撈一筆。

過端午，收棉襖

俗語說：過端午，收棉襖。或者說：不過端午，不收棉被。意思都一樣：端午節之前，雖然有時候變得很熱，但有時候還是很涼，棉襖還要穿，棉被還要蓋。只有過了端午節，夏天真正到了，才可以把棉襖、棉被收起來。

端午節在陰曆五月五日，是依月亮周期變化的節慶，卻成了氣候變化的標竿，通嗎？端午節在標定氣候變化的陽曆中是不固定的，從陽曆五月底到六月下旬都有可能。像去年（二○○一年）就發生在陽曆六月二十五日，梅雨季早巳結束，棉襖、棉被早就收起來了。

陰曆一年十二個月，長為354日或355日，與陽曆年相差十日或多一點。也就是說，每年的端午節在陽曆中要提前大約十日到十一日，平均起來快到三年就要差上一個月，造成陰陽兩曆大失調。所以，陰曆平均將近三年就要閏月一次，來矯正陰陽兩曆的差距。

此地的梅雨季大約在六月上旬結束，不過「過了六月上旬，就收棉襖」這樣的話，不太有學問的氣勢，成不了俗語。農曆中的二十四中節氣，比較有學問的樣子，而芒種這個節氣固定在陽曆的六月四日或五日，似乎可用來賣弄學問：過芒種，收棉襖。不過這不是好辦法，第一，大家不知道芒種是什麼；再者，愈往北方，梅雨季結束愈晚，所以用中節氣的俗語不一定各地一體適用。「過端午，收棉襖」還是改成「梅雨停，收棉襖」就好了。

享壽一百零二歲，積閏一百有五歲

陳立夫先生生於一九○○年，去年（二○○一年）去世，訃聞上有「享壽一百零二歲，積閏一百有五歲」的說法，許多人無法了解。我們習慣用虛歲，「享壽一百零二歲」不成問題；但積閏是什麼？

中國傳統的農曆以陰曆紀月紀日，但又置有實質為陽曆的二十四個中節氣，做為農事的參考。二十四中節氣一輪的周期，相當於一陽曆年，要比一陰曆年十二個陰曆月長，農曆就在十九個陰曆年中置七個閏月，使陽曆年與陰曆年不至於有很大的失調。這樣的設計，使得農曆變成了陰陽合曆。

換句話說，用農曆，十九個陽曆年相當於十九個純陰曆年（一純陰曆年含十二個陰曆月），再加上七個閏月。從一九○○年到二○○一年有一○一個陽曆年，亦即五個十九年加上六年。每十九年有七個閏月，而六年則有二個閏月，所以共有5 × 7 ＋ 2 ＝ 37個閏月，足夠三個純陰曆年。「積閏一百有五歲」的說法就得到合理的解釋了。不過這是純陰曆年累積年數；而農曆中，陰曆年是把閏月也包括在內，所以一陰曆年有時可長達十三個月。

回教人士使用純陰曆，他們的曆和太陽完全無關。他們的齋戒月，還有麥加朝聖日期，相對於陽曆，每年都提前。他們的一年比較短，算起年歲相對就比較大。

十九年七閏，哪年哪月要閏

為什麼十九年要有七閏呢？粗算一下是這樣的：陽曆年一年平均365日多一點，陰曆十二個月則平均有354日多一點，兩相比較相差約十一日。十九年就相差了11 × 19 = 209日，大約等於七個陰曆月。所以十九年要有七閏。

中國的陰陽合曆用十九年七閏，至少可追溯到殷商時代。在西方，巴比倫人、猶太人、希臘人等也用陰陽合曆。起先用八年三閏，沒多久就不準了；接著改用十一年四閏，雖然準一點，但終究無法持久。最後西元前五世紀的希臘天文學家默冬（Meton）採用了十九年七閏，在西方就稱為默冬周期。

在古代，十九年七閏通常規定在十九年周期中，第三、六、八、十一、十四、十七、十九年各閏一個月；中國在漢武帝之前規定閏月擺在年底。從漢武帝開始，就利用二十四中節氣的十二個中節氣，與十二個陰曆月一一掛鉤，而一旦脫鉤就置閏月。這樣的機制保證陰陽兩曆的調和，兩千年之內都是十九年七閏，更久則自然會演變成更準確的三一五年一一六閏。

為了了解三一五年一一六閏，我們做如下的精算：一回歸年平均為365.2422日，一朔望月（月亮繞地球旋轉一周所需要的時間）平均為29.5306日，所以一回歸年要有365.2422／29.5306 ≒ 12.36826個陰曆月，亦即每年十二個朔望月之外，還多0.36826個月。十九年七閏就是用7／19 ≒ 0.36842來代替那多出的部分。短期來說是夠準的，但長期而言，三一五年一一六閏會更準：116／315 ≒ 0.36825。

天之曆數在爾躬

古羅馬人用的是純陰曆，新月出現的日子稱為宣布日（kalends），它是陰曆月的第一日（農曆陰曆月的朔日，是看不到月亮的）。這一天，羅馬的執政官要當眾宣布，新的一個月開始了，借債要在約定的日子前還息，哪一天有市集，哪一天有節慶，…。「宣布」的拉丁文是calere，由它衍生了「宣布日」kalends，進一步衍生了「曆」（calendar）。「曆」就是「行事以時」的意思。

《論語》最後一篇〈堯曰篇〉，開頭是這樣的，堯曰：「咨！爾舜！天之曆數在爾躬，允執其中！四海困窮，天祿永終。」意思是說，你承受大命，要做得中規中矩。否則百姓窮困，你的大命也就沒有了。在這裡用具體的說法「天之曆數在爾躬」來表示承受大命：你頒的曆，大家都要遵行的。

《疇人傳》的傳主是天文數學家

清乾隆皇帝末年，也就是十八世紀末，學者阮元著有《疇人傳》，疇人就是天文官的意思。《疇人傳》列入中國歷代的天文數學家二百四十三人，以及來華傳教士懂得天文曆法者三十七人，共計二百八十人。來華的傳教士以利瑪竇最具代表，他教會徐光啟平面幾何（兩人共譯《幾何原本》前六冊），使後者得以學習西方的天文，日後參與明朝改曆研究。

中國歷代非常重視天文曆法，因為掌握天文曆法是掌控政局的象徵。天文曆法需要數學，而數學的發展有賴於天文曆法的研究。

曆法要基於天文的觀測，從有限次的觀測，要推算天體的運行，需要內插法這種數學的技巧。內插法的發展是中國數學的一個特色，高階等差級數則是它在純數學方面的應用。

曆法牽涉到許多周期，譬如太陽年，陰曆月，木星（歲星）的周期等，還有在這些周期中，相關天體的位置，亦即周期的餘數。從目前各周期的餘數，反推上一次各周期餘數全歸零的年代－所謂的上元積年，是個相當困難的數學問題。我國因此發展出餘數定理，它在現今的代數領域中占有重要的地位。

西方天文的研究也帶動許多數學的發展，例如平面三角、球面三角、內插法、對數等都是。這些數學隨著傳教士在明末清初漸漸傳入我國。另外，我們可用連分數的觀點，來看曆法中的許多小數，用怎樣分數來代替比較好。我們說過的7／19，116／315其實和0.36826（與1輾轉相除所得）的連分數表示都有關係。

「天之曆數在爾躬」，「爾」從前指的是皇帝，現在人民是國家的主人翁，「爾」指的是你。你雖然未必能掌握曆法的實際編製，但至少要能了解曆法的基本架構，及相關的文化史。在這方面，你需要的數學不多，只要四則運算、代數思維、以及簡單的邏輯。

深度閱讀

大衛．艾溫．鄧肯（民88）抓時間的人（丘宏義譯注），雙月書屋，臺北。
阿伯納．奚模尼（民88）我的生日不見了（楊玉齡譯），天下文化，臺北。

資料來源

《科學發展》2002年3月，351期，66 ~ 70頁

曆法(4)

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