必然性與隨機性
對自然的探索，了解宇宙的奧祕，一直是人們所追求的，所謂「究天人之際，通古今之變」。而宇宙的運轉，穿插著必然性及隨機性。有些現象我們確知必然會發生，例如天體運轉及科學中的很多規律性，都可歸因為必然性。至於事先無法確定結果的情況，也所在多有，這就是隨機性。
由於一代一代對知識的探索，宇宙間很多必然性逐漸被人們了解。以數學為例，大家在中學都學過平面幾何學，平面幾何學裡就有各種關於圖形的必然性。信手拈來，如三角形內角和是 180 度，直角三角形兩股平方和等於斜邊平方（畢氏定理）。較複雜一點的如三角形三邊的垂直平分線交於同一點（外心），重心（三邊中線的交點）距任一頂點距離是對應中線長的三分之二，外心、重心及垂心（三邊高的交點）三點共線等。
對幾何圖形裡那種種毫無例外的性質我們感到神奇，更驚訝前人是如何發現的？尤其這些發現，多半源自距今兩千五百多年前，古希臘時代的畢達哥拉斯（畢氏定理即以他命名）。爾後歐幾里得把從畢達哥拉斯及其追隨者等先輩開創出來的工作，有系統地整理成《幾何原本》一書。至少到 19 世紀非歐幾何學出現之前，這本書一直是平面幾何學的推理、定理和方法的主要依據，今日中學平面幾何學的內容，大都不超過它的範圍。
平面幾何學除了教我們圖形的性質，我們的邏輯推演能力也多半奠基於這門課，而這竟然是距今兩千多年前，就已被那些聰明人發現的學問。想想那是個沒有紙筆的時代，真不知當時的數學家是如何畫圖，以及如何能如此觀察入微。不過與其歸根於觀察力，還不如說是他們抽象思考的能力很好。要知在數學裡並不需眼見為實，數學家自有一套思想體系，在這套體系裡，他們自有一套判定事件是真或偽的步驟。
在《幾何原本》第 9 卷的最後一命題，討論完全數（perfect number）。所謂完全數就是一數等於小於它的所有因數的和。6 是第一個完全數，6 = 1 + 2 + 3。28 是第二個完全數，28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。古希臘學者覺得這些數字具有特別的象徵和神祕的意義，6 也確實與宗教裡一些完美性相關聯。《聖經‧創世記》裡記載，上帝創造世界花了 6 天，在第 7 天歇工，西方人可能因此認為 6 是一個很完美的數字。
目前的曆制，一星期有 7 天，一個月是四星期（即 28 天）多一些，似乎 28 也是一個讓人所樂意接受的數字。古希臘時代只知道 4 個完全數，在《幾何原本》第 9 卷的最後一句話寫著「6、28、496、8128 等都是完全數」。歐幾里得發現，這 4 個完全數都可表示成 2n-1（2n－1）的型式，n 分別是 2、3、5 及 7。
6 = 2 x 3 = 2 x (22－1)
28 = 4 x 7 = 22 x (23－1)
496 = 16 x 31 = 24 x (25－1)
8128 = 64 x 127 = 26 x (27－1)
其中，6、28、496、8128 為首四個完全數，3、7、31、127 都是質數。 歐幾里得也看出當 n = 2、3、5 或 7 時，2n－1 都是質數。這項觀察使他在《幾何原本》裡證明：「若 2n－1 是一質數，則 2n-1（2n－1）是一完全數。」
歐幾里得給出了偶完全數的充分條件，但是否尚有其他偶完全數呢？歐幾里得之後約兩千年，大數學家歐拉，給出了偶完全數的必要條件：「偶完全數必呈 2n-1（2n－1）的型式，且 2n - 1 是一質數。」
至此人們知道偶完全數是如何產生的，毫無例外的，就是 2n-1（2n－1）的型式，而且 2n - 1 是一質數。2n - 1 型式的質數，稱為梅仙尼質數。每找到一個梅仙尼質數，便找到一個偶完全數。偶完全數的尋找至今仍方興未艾，近年來由於網際網路的興起，加速了梅仙尼質數及偶完全數的誕生。有興趣加入尋找行列者，可上網站 http://www.mersenne.org/prime.htm。
大家可能會好奇，找很困難嗎？不是只要找到一個 2n - 1 型式的質數就好了嗎？可惜這種質數很稀少，至西元 2005 年，才知道 42 個偶完全數。最大的一個是 2005 年 2 月 18 日發現的：225,964,950（225,964,951－1），位數達 15,632,458 位。假設一頁可印 4,000 位數，印出這數字要 3,909 頁，真是個天文數字。古人才找到 4 個就知道很珍貴，命名為 perfect number，其慧眼真令人敬佩。至於奇完全數是否存在呢？至今仍然未知。
宇宙間的各種變化，科學裡的各種現象，長久以來人們所追求及所突破的，大都屬必然性。例如，天體運行的規律性、幾何學裡種種美妙的性質，及偶完全數一定是什麼型式等。
至於隨機性呢？雖然我們可以準確地算出哈雷彗星下次來的時間，以及下回金星凌日的時間，但明天會不會下雨、颱風走向，以及下次地震是何時，就不一定清楚了。又如讓手上的銅板以自由落體的方式落地，只要固定高度，且忽略空氣阻力，落地所需的時間是可以確定的，但是卻無法預知哪一面朝上。所以人們對隨機性的了解，有很長一段時間，即使不是繳白卷，成就也很有限。
處處有機率
其實人們對隨機性的經驗源遠流長。在《聖經‧利未記》第 16 章：「為那兩隻羊拈鬮，一鬮歸與耶和華，一鬮歸與阿撒瀉勒。」《聖經‧民數記》第 26 章，耶和華曉諭摩西：「還要拈鬮分地。」在《新約聖經‧約翰福音》裡，耶穌被釘死在十字架上後，兵丁以拈鬮來分他的裏衣。雖很早便知有隨機性，但較晚才開始探討。涵蓋隨機性的機率與統計這兩門學問，其萌芽都遲至 17 世紀。初期僅是算算排列組合或收集資料，而同時期數學的其他領域，已發展得很深入了。
一般認為機率發展有 3 個階段。第一是解決玩撲克牌、投擲骰子等實際情況中事件出現的可能性問題。第二是建立抽象系統，解決較一般的問題。第三是 1933 年，俄國數學家柯莫果洛夫以公理化的方式建立機率論的數學體系。自此機率成為數學的一個主要領域，距今不過七十餘年。
至於現代統計學的發展始自 19 世紀末，歷史也不是太長。今日統計已成為做決策的主要依據，甚至連心理分析都可說是統計的應用。可以這麼講，統計理論並不能保證所提供的選擇永遠是最好的，但可以保證在所設定的條件下，沒有其他更好的策略。
數學雖然博大精深，但日常生活中所用到的，例如計算總和、平均、利息、報稅等，大致不會讓人迷惑。稍微難一點的數學，一般人多半不敢輕易觸及，認為那是專家的工作。
以前會計和統計是在一起的，大學裡有會計統計學系。其實會計中用到的數學都還不算太難，只是會計師的制度存在已久，是一種高收入的專業，但統計工作則常令人以為可以自行處理。諸如機率、獨立、期望值、變異數、95％ 的信心水準、抽樣誤差等，這些很難解釋清楚的概念，卻常出現在報章媒體上。不少人也就在辦公室或街頭上做起「抽樣調查」。
事實上，前述那些名詞比極限、微分、積分還難解釋明白。例如，投擲一公正的骰子，所得點數的期望值是（1＋2＋3＋4＋5＋6）／6＝3.5。雖然不論怎麼投擲都得不到一個非整數的值，但偏偏 3.5 被認為是「期望得到的值」。中小學的機率與統計的題材置於數學課程中，一般人受多了數學中必然性的訓練，對隨機性也就想用必然性的手法來處理。數學中的數字，一般人會謹慎面對，但對求機率值不知怎麼，一向就較隨意，隨機像是等同於隨便。我們給一例子如下。
例如「每個投票所多一票就贏了」，落選者常這樣嘆息。聽起來很容易，實際情況如何？假設有 10,000 個投票所，任一投票所至少多一票的機率假設是 0.999（算是不低），但要每個投票所都至少多一票的機率則是（假設各投票所的投票行為相互獨立）
0.99910,000 ≈ 4.517／100,000 ≈ 1／22,000
可看出一個投票所要多一票可能不難，但要每一投票所都能多一票，就不見得容易了。即使只有 1,000 個投票所，這個機率也才約 0.3677，並不是很高。
上述例子顯示一般人雖然對機率一詞朗朗上口，其實連事件的機率大小，常也不太能精確地掌握。例如影響翻盤機率，與 SARS 有關的題目出現機率可能不低，以及恐怖耶誕，全美警戒，遇襲機率與規模，911 至今最高等說法，其中所提到的機率很可能並沒有嚴謹的依據，但卻屢屢出現在報紙上的新聞標題中。
隨機的概念
實際上機率並非頻率。我們常有下述講法：每 4 年有 1 次閏年；每 19 年有 7 次閏月；哈雷彗星每 76 年接近地球1次。對機率的表示，也常採類似的方式：一期買一張樂透彩，5 萬年可中頭獎；每 5 名曾接受肺癌手術的病人，只有 1 人能存活 5 年；和伊朗比 10 場會贏 9 場，但偏偏這是第 10 場。
久之機率與頻率混淆，以為發生機率三分之一，就是每三次觀測會出現一次，變異的概念逐漸失去，而把隨機變數常數化。兩事件如果發生機率相同，就誤以為發生頻率也要相同。
以北銀發行的 42 取 6 的樂透彩為例，自 91 年 1 月 22 日發行，至 94 年 1 月 21 日結束，共發行314 期。有人研究 1 ~ 42 各號碼出現的頻率，發現出現最多的是 12 號，有 61 次，最少次數的是 16 號，只有 33 次。雖然各號碼出現機率相同，但開了三百多期，各號碼出現頻率的差異卻很大。
統計推論常引起迷思
數學中有很多證明，但對於隨機現象，通常無法證明其真偽。諸如銅板為公正，樂透彩頭獎號碼的出現符合隨機性，都無法依一定步驟證明對或錯。統計裡對一假設（如機率 = 0.5）經過檢定後，得到的結論不是真或偽，而是接受或不接受這個假設。
由於變異的存在，統計推論允許犯錯，而且對同一假設，如果重複觀測，推論可能會不一樣。又因常要處理涉及人的問題，例如民意調查或某種新藥對治療某特定疾病是否有效等，相對於檢驗一銅板出現正面的機率是否等於 0.5，多變的人和無怨無尤的銅板是完全不同的情況。造成的後果就是使人以為統計的工作可以輕率地執行，也有不少人以為統計的推論就如同數學中的證明。因而有人不相信統計，有人過度相信統計。不論相信或不相信統計，主要是不了解隨機的本質，不知隨機現象中是有變異的。
前面提到統計裡的假設檢定，會先定出一個比較小而可以容忍的犯錯機率，如 0.01、0.05 或 0.10。看多了小機率，難免令人誤以為小機率代表事件幾乎不會發生。事實上，在生活中小機率事件可能是常常發生的。
樂透彩中頭獎的機率雖然很小，但卻常有人中頭獎，這是因為每期買的人很多的緣故，美國還曾有人中了樂透彩頭獎兩次。民國 90 年 12 月，臺北市新開幕的京華城購物中心，有一對夫婦中了 7 部休旅車，轟動一時。美國前總統雷根 2004 年 6 月去世，《新聞周刊》及《時代》兩份著名的雜誌據稱各擁有上百萬張雷根的照片，但卻選了同一張做為封面。
有些我們以為不可能的事，卻常常發生，原因是發生機率並沒有想像的低。另一方面即使機率小，一旦觀察次數夠多，也不難發生。此外，世事留意皆文章，只要有心，經常可觀察到發生機率很小的事件。
應隨機以恆周
顯通寺是佛教聖地五臺山現存最古及最大的寺院。相傳五臺山是文殊菩薩演教和居住的地方，所以五臺山的寺院，都以供奉文殊菩薩為主。大文殊殿是顯通寺的第二進殿宇，殿外有幅對聯
德相非空非有應隨機以恆周，
法身無去無來住寂光而不動。
切記，不能以數學的方式來想機率與統計。
假設Ａ銅板出現正面的機率是 0.6，B銅板出現正面的機率是 0.4，0.6 ＞ 0.4，是否各投擲 10 次，Ａ銅板出現的正面數必多於Ｂ銅板呢？當然不一定，這可不是數學中的比大小。那機率的大小不是沒意義嗎？也不盡然，如果比賽誰得的正面數多，你要選那一個銅板呢？顯然是Ａ銅板，機率的功能這時就呈現了。
另外，統計裡 95％ 的信賴區間也不是指實驗 100 次有 95 次值得信賴。信賴區間的意義不易解釋，但卻常出現在媒體上，可能是因為 95％ 在數學上的意思很明白吧！在隨機現象裡，事件的機率會因情況不同、新資訊的出現而改變（即條件機率），千萬不可守著一個機率值，不知變通。隨機挑選一個人，你可假設是男是女的機率都是 0.5。但如果告訴你，是從高雄女中挑選的，你還會認為挑中男女的機率相同嗎？
要把隨機融入思考中，做決策時先算算機率、期望值、變異數等，依統計方法找到最佳策略。在所要求的條件下，除非有意外，結果都會令人滿意。只是隨機世界裡，永遠會有意外，豈有此理之事一向也不少。出現意外，對原先相信的事，是可以動搖信心。經過進一步檢驗，如果意外仍然出現，改變選擇是合理的決策。但會不會誤判？也不無可能。有新資料出現可否再改變選擇？答案是肯定的。萬物雖有常，但世事多變，不要挑戰機率，也不要過度倚賴機率，而要善用機率。
在這個必然性與隨機性並存的世界裡，必然性就像法身，隨機性則是德相。必然性使人們願意事先好好準備，隨機性使未來充滿著盼望與不確定性。光有必然性的世界毫無變異，光有隨機性的世界一切靠運氣，皆會使人少了努力的動機，若只有其中一項，世界是無法周轉的。
隨機世界中，由於有大數法則及中央極限定理等，使其中又有些可以掌握的現象存在，這就是隨機法則。我們從小學數學，熟悉數學中的法則，運用較自如。對隨機法則，就不是那麼能駕馭了。了解必然性，掌握隨機性，才能適存於這個隨機世界。
