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應隨機以恆周

94/10/13 瀏覽次數 13327
必然性與隨機性

對自然的探索,了解宇宙的奧祕,一直是人們所追求的,所謂「究天人之際,通古今之變」。而宇宙的運轉,穿插著必然性及隨機性。有些現象我們確知必然會發生,例如天體運轉及科學中的很多規律性,都可歸因為必然性。至於事先無法確定結果的情況,也所在多有,這就是隨機性。

由於一代一代對知識的探索,宇宙間很多必然性逐漸被人們了解。以數學為例,大家在中學都學過平面幾何學,平面幾何學裡就有各種關於圖形的必然性。信手拈來,如三角形內角和是 180 度,直角三角形兩股平方和等於斜邊平方(畢氏定理)。較複雜一點的如三角形三邊的垂直平分線交於同一點(外心),重心(三邊中線的交點)距任一頂點距離是對應中線長的三分之二,外心、重心及垂心(三邊高的交點)三點共線等。

對幾何圖形裡那種種毫無例外的性質我們感到神奇,更驚訝前人是如何發現的?尤其這些發現,多半源自距今兩千五百多年前,古希臘時代的畢達哥拉斯(畢氏定理即以他命名)。爾後歐幾里得把從畢達哥拉斯及其追隨者等先輩開創出來的工作,有系統地整理成《幾何原本》一書。至少到 19 世紀非歐幾何學出現之前,這本書一直是平面幾何學的推理、定理和方法的主要依據,今日中學平面幾何學的內容,大都不超過它的範圍。

平面幾何學除了教我們圖形的性質,我們的邏輯推演能力也多半奠基於這門課,而這竟然是距今兩千多年前,就已被那些聰明人發現的學問。想想那是個沒有紙筆的時代,真不知當時的數學家是如何畫圖,以及如何能如此觀察入微。不過與其歸根於觀察力,還不如說是他們抽象思考的能力很好。要知在數學裡並不需眼見為實,數學家自有一套思想體系,在這套體系裡,他們自有一套判定事件是真或偽的步驟。

在《幾何原本》第 9 卷的最後一命題,討論完全數(perfect number)。所謂完全數就是一數等於小於它的所有因數的和。6 是第一個完全數,6 = 1 + 2 + 3。28 是第二個完全數,28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。古希臘學者覺得這些數字具有特別的象徵和神祕的意義,6 也確實與宗教裡一些完美性相關聯。《聖經‧創世記》裡記載,上帝創造世界花了 6 天,在第 7 天歇工,西方人可能因此認為 6 是一個很完美的數字。

目前的曆制,一星期有 7 天,一個月是四星期(即 28 天)多一些,似乎 28 也是一個讓人所樂意接受的數字。古希臘時代只知道 4 個完全數,在《幾何原本》第 9 卷的最後一句話寫著「6、28、496、8128 等都是完全數」。歐幾里得發現,這 4 個完全數都可表示成 2n-1(2n-1)的型式,n 分別是 2、3、5 及 7。

6 = 2 x 3 = 2 x (22-1)
28 = 4 x 7 = 22 x (23-1)
496 = 16 x 31 = 24 x (25-1)
8128 = 64 x 127 = 26 x (27-1)
 
其中,6、28、496、8128 為首四個完全數,3、7、31、127 都是質數。 歐幾里得也看出當 n = 2、3、5 或 7 時,2n-1 都是質數。這項觀察使他在《幾何原本》裡證明:「若 2n-1 是一質數,則 2n-1(2n-1)是一完全數。」

歐幾里得給出了偶完全數的充分條件,但是否尚有其他偶完全數呢?歐幾里得之後約兩千年,大數學家歐拉,給出了偶完全數的必要條件:「偶完全數必呈 2n-1(2n-1)的型式,且 2n - 1 是一質數。」

至此人們知道偶完全數是如何產生的,毫無例外的,就是 2n-1(2n-1)的型式,而且 2n - 1 是一質數。2n - 1 型式的質數,稱為梅仙尼質數。每找到一個梅仙尼質數,便找到一個偶完全數。偶完全數的尋找至今仍方興未艾,近年來由於網際網路的興起,加速了梅仙尼質數及偶完全數的誕生。有興趣加入尋找行列者,可上網站 http://www.mersenne.org/prime.htm。

大家可能會好奇,找很困難嗎?不是只要找到一個 2n - 1 型式的質數就好了嗎?可惜這種質數很稀少,至西元 2005 年,才知道 42 個偶完全數。最大的一個是 2005 年 2 月 18 日發現的:225,964,950(225,964,951-1),位數達 15,632,458 位。假設一頁可印 4,000 位數,印出這數字要 3,909 頁,真是個天文數字。古人才找到 4 個就知道很珍貴,命名為 perfect number,其慧眼真令人敬佩。至於奇完全數是否存在呢?至今仍然未知。

宇宙間的各種變化,科學裡的各種現象,長久以來人們所追求及所突破的,大都屬必然性。例如,天體運行的規律性、幾何學裡種種美妙的性質,及偶完全數一定是什麼型式等。

至於隨機性呢?雖然我們可以準確地算出哈雷彗星下次來的時間,以及下回金星凌日的時間,但明天會不會下雨、颱風走向,以及下次地震是何時,就不一定清楚了。又如讓手上的銅板以自由落體的方式落地,只要固定高度,且忽略空氣阻力,落地所需的時間是可以確定的,但是卻無法預知哪一面朝上。所以人們對隨機性的了解,有很長一段時間,即使不是繳白卷,成就也很有限。

處處有機率

其實人們對隨機性的經驗源遠流長。在《聖經‧利未記》第 16 章:「為那兩隻羊拈鬮,一鬮歸與耶和華,一鬮歸與阿撒瀉勒。」《聖經‧民數記》第 26 章,耶和華曉諭摩西:「還要拈鬮分地。」在《新約聖經‧約翰福音》裡,耶穌被釘死在十字架上後,兵丁以拈鬮來分他的裏衣。雖很早便知有隨機性,但較晚才開始探討。涵蓋隨機性的機率與統計這兩門學問,其萌芽都遲至 17 世紀。初期僅是算算排列組合或收集資料,而同時期數學的其他領域,已發展得很深入了。

一般認為機率發展有 3 個階段。第一是解決玩撲克牌、投擲骰子等實際情況中事件出現的可能性問題。第二是建立抽象系統,解決較一般的問題。第三是 1933 年,俄國數學家柯莫果洛夫以公理化的方式建立機率論的數學體系。自此機率成為數學的一個主要領域,距今不過七十餘年。

至於現代統計學的發展始自 19 世紀末,歷史也不是太長。今日統計已成為做決策的主要依據,甚至連心理分析都可說是統計的應用。可以這麼講,統計理論並不能保證所提供的選擇永遠是最好的,但可以保證在所設定的條件下,沒有其他更好的策略。

數學雖然博大精深,但日常生活中所用到的,例如計算總和、平均、利息、報稅等,大致不會讓人迷惑。稍微難一點的數學,一般人多半不敢輕易觸及,認為那是專家的工作。

以前會計和統計是在一起的,大學裡有會計統計學系。其實會計中用到的數學都還不算太難,只是會計師的制度存在已久,是一種高收入的專業,但統計工作則常令人以為可以自行處理。諸如機率、獨立、期望值、變異數、95% 的信心水準、抽樣誤差等,這些很難解釋清楚的概念,卻常出現在報章媒體上。不少人也就在辦公室或街頭上做起「抽樣調查」。

事實上,前述那些名詞比極限、微分、積分還難解釋明白。例如,投擲一公正的骰子,所得點數的期望值是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。雖然不論怎麼投擲都得不到一個非整數的值,但偏偏 3.5 被認為是「期望得到的值」。中小學的機率與統計的題材置於數學課程中,一般人受多了數學中必然性的訓練,對隨機性也就想用必然性的手法來處理。數學中的數字,一般人會謹慎面對,但對求機率值不知怎麼,一向就較隨意,隨機像是等同於隨便。我們給一例子如下。

例如「每個投票所多一票就贏了」,落選者常這樣嘆息。聽起來很容易,實際情況如何?假設有 10,000 個投票所,任一投票所至少多一票的機率假設是 0.999(算是不低),但要每個投票所都至少多一票的機率則是(假設各投票所的投票行為相互獨立)

0.99910,000 ≈ 4.517/100,000 ≈ 1/22,000
 
可看出一個投票所要多一票可能不難,但要每一投票所都能多一票,就不見得容易了。即使只有 1,000 個投票所,這個機率也才約 0.3677,並不是很高。

上述例子顯示一般人雖然對機率一詞朗朗上口,其實連事件的機率大小,常也不太能精確地掌握。例如影響翻盤機率,與 SARS 有關的題目出現機率可能不低,以及恐怖耶誕,全美警戒,遇襲機率與規模,911 至今最高等說法,其中所提到的機率很可能並沒有嚴謹的依據,但卻屢屢出現在報紙上的新聞標題中。

隨機的概念

實際上機率並非頻率。我們常有下述講法:每 4 年有 1 次閏年;每 19 年有 7 次閏月;哈雷彗星每 76 年接近地球1次。對機率的表示,也常採類似的方式:一期買一張樂透彩,5 萬年可中頭獎;每 5 名曾接受肺癌手術的病人,只有 1 人能存活 5 年;和伊朗比 10 場會贏 9 場,但偏偏這是第 10 場。

久之機率與頻率混淆,以為發生機率三分之一,就是每三次觀測會出現一次,變異的概念逐漸失去,而把隨機變數常數化。兩事件如果發生機率相同,就誤以為發生頻率也要相同。

以北銀發行的 42 取 6 的樂透彩為例,自 91 年 1 月 22 日發行,至 94 年 1 月 21 日結束,共發行314 期。有人研究 1 ~ 42 各號碼出現的頻率,發現出現最多的是 12 號,有 61 次,最少次數的是 16 號,只有 33 次。雖然各號碼出現機率相同,但開了三百多期,各號碼出現頻率的差異卻很大。

統計推論常引起迷思

數學中有很多證明,但對於隨機現象,通常無法證明其真偽。諸如銅板為公正,樂透彩頭獎號碼的出現符合隨機性,都無法依一定步驟證明對或錯。統計裡對一假設(如機率 = 0.5)經過檢定後,得到的結論不是真或偽,而是接受或不接受這個假設。

由於變異的存在,統計推論允許犯錯,而且對同一假設,如果重複觀測,推論可能會不一樣。又因常要處理涉及人的問題,例如民意調查或某種新藥對治療某特定疾病是否有效等,相對於檢驗一銅板出現正面的機率是否等於 0.5,多變的人和無怨無尤的銅板是完全不同的情況。造成的後果就是使人以為統計的工作可以輕率地執行,也有不少人以為統計的推論就如同數學中的證明。因而有人不相信統計,有人過度相信統計。不論相信或不相信統計,主要是不了解隨機的本質,不知隨機現象中是有變異的。

前面提到統計裡的假設檢定,會先定出一個比較小而可以容忍的犯錯機率,如 0.01、0.05 或 0.10。看多了小機率,難免令人誤以為小機率代表事件幾乎不會發生。事實上,在生活中小機率事件可能是常常發生的。

樂透彩中頭獎的機率雖然很小,但卻常有人中頭獎,這是因為每期買的人很多的緣故,美國還曾有人中了樂透彩頭獎兩次。民國 90 年 12 月,臺北市新開幕的京華城購物中心,有一對夫婦中了 7 部休旅車,轟動一時。美國前總統雷根 2004 年 6 月去世,《新聞周刊》及《時代》兩份著名的雜誌據稱各擁有上百萬張雷根的照片,但卻選了同一張做為封面。

有些我們以為不可能的事,卻常常發生,原因是發生機率並沒有想像的低。另一方面即使機率小,一旦觀察次數夠多,也不難發生。此外,世事留意皆文章,只要有心,經常可觀察到發生機率很小的事件。

應隨機以恆周

顯通寺是佛教聖地五臺山現存最古及最大的寺院。相傳五臺山是文殊菩薩演教和居住的地方,所以五臺山的寺院,都以供奉文殊菩薩為主。大文殊殿是顯通寺的第二進殿宇,殿外有幅對聯

德相非空非有應隨機以恆周,
法身無去無來住寂光而不動。

 
切記,不能以數學的方式來想機率與統計。

假設A銅板出現正面的機率是 0.6,B銅板出現正面的機率是 0.4,0.6 > 0.4,是否各投擲 10 次,A銅板出現的正面數必多於B銅板呢?當然不一定,這可不是數學中的比大小。那機率的大小不是沒意義嗎?也不盡然,如果比賽誰得的正面數多,你要選那一個銅板呢?顯然是A銅板,機率的功能這時就呈現了。

另外,統計裡 95% 的信賴區間也不是指實驗 100 次有 95 次值得信賴。信賴區間的意義不易解釋,但卻常出現在媒體上,可能是因為 95% 在數學上的意思很明白吧!在隨機現象裡,事件的機率會因情況不同、新資訊的出現而改變(即條件機率),千萬不可守著一個機率值,不知變通。隨機挑選一個人,你可假設是男是女的機率都是 0.5。但如果告訴你,是從高雄女中挑選的,你還會認為挑中男女的機率相同嗎?

要把隨機融入思考中,做決策時先算算機率、期望值、變異數等,依統計方法找到最佳策略。在所要求的條件下,除非有意外,結果都會令人滿意。只是隨機世界裡,永遠會有意外,豈有此理之事一向也不少。出現意外,對原先相信的事,是可以動搖信心。經過進一步檢驗,如果意外仍然出現,改變選擇是合理的決策。但會不會誤判?也不無可能。有新資料出現可否再改變選擇?答案是肯定的。萬物雖有常,但世事多變,不要挑戰機率,也不要過度倚賴機率,而要善用機率。

在這個必然性與隨機性並存的世界裡,必然性就像法身,隨機性則是德相。必然性使人們願意事先好好準備,隨機性使未來充滿著盼望與不確定性。光有必然性的世界毫無變異,光有隨機性的世界一切靠運氣,皆會使人少了努力的動機,若只有其中一項,世界是無法周轉的。

隨機世界中,由於有大數法則及中央極限定理等,使其中又有些可以掌握的現象存在,這就是隨機法則。我們從小學數學,熟悉數學中的法則,運用較自如。對隨機法則,就不是那麼能駕馭了。了解必然性,掌握隨機性,才能適存於這個隨機世界。
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