中西數字的奧妙
97/03/05
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20218
尚景賢｜
空軍航空技術教育學院軍事學科部
劉厚鵬｜
空軍航空技術學院總務處
人一出生，就注定和數字結下不解之緣，生日、身分證字號 …… 數字一直伴隨在你人生的路上。數字不知從何而起，也不知從何而終，甚至在０與１之間隱藏著無限細微的數字樓梯，數也數不盡。但是就在永無止盡的０到９不斷反覆下，串起了工業的卓越發展，挑起了分秒必爭的商業奇蹟，闖入理性客觀的科學世界，更在文學的巧妙語言中趁虛而入。數字建構了如此宏偉而文明的世界，無論現代或未來，絕對沒有理由拒絕數字的存在，也無法忽視其莫大的影響力。
通常人們關注的數字是它的直覺本質，但漸進發展的結果，則以各種不同的方式展現，包括對數字、運算和它們之間關係的意義、做心算和估算時使用的各種不同數字的變通形式、比較和排序數字、判斷計算結果合理性的數字、分解和組合數字、做為決策參考的分析與統計數字等。
認知心理學家認為數學知識一如其他學科的知識，如閱讀、寫作與科學，可以分為描述性知識與程序性知識。描述性知識涵蓋了一些事實、理論、物件與事件的知識，程序性知識則是知道如何完成事情的知識。數學學得好的學生，在這兩類知識上通常比一般學生略佳。
許多研究也發現數學概念的理解（描述性知識），在使用解題策略（程序性知識）的過程中扮演了重要的角色。在研究數學概念理解的過程中，很多學者發現數字感極為重要。數字感在性質上是一種概念理解的知識（描述性知識），除了是一種重要的數學概念外，它也會影響到數學解題策略（程序性知識）的使用。
數學最重要的基礎在於數字和數字的結構。數字和語言、文字一樣，都是人類思維、行為建構的一種符號、語意，這些載體本身都具有結構、系統及呈現的方式與策略，皮亞傑（Piaget）、維高次基（Vygotsky）等大師都注意到語言文字與數理邏輯的緊密互動關係。紀魯斯（Henry A. Giroux）在其《越界研究》的專書結論中提到「我們需要檢視各種結構」，除了結構之外，更應該重視各系統及因應策略間的概念轉移。
數字的發展
在許多古文明的文字記載中，都可以見到其文明中使用的數字表示法。最直接的方法就是一條線代表一，兩條線代表二 …… 但是總不方便以十條線表示十，以一百條線表示一百吧！事實上，有些地區的人一開始只能計算到三，三以上就被認為是很大的量了。人類計數的演進是一部經歷數萬年的歷史。古埃及人和古巴比倫人以不同的圖形表示數字，羅馬人則想出了用一個符號代表五，另一個符號代表十的方法，使得數字的表示較為便利。
而阿拉伯數字的出現，挾其易懂易用的優勢，很快就成為世界共通的數字表示法。阿拉伯數字其實並不是阿拉伯人發明的，而是印度人在約公元 3 世紀時發明的，後來由於東西方的商業往來而傳入西班牙。
在公元 7 世紀時，阿拉伯人征服了周圍的民族，建立了東起印度，西經非洲到西班牙的撒拉遜大帝國。後來，這個伊斯蘭大帝國又分裂成東、西兩個國家。當時兩國的首都非常繁榮，尤其是東都巴格達，匯集了西來的希臘文化和東來的印度文化。阿拉伯人把兩種文化吸收消化，從而創造了阿拉伯文化。
大約在公元 7 世紀左右，有一位印度的天文學家拜訪了巴格達王宮，把印度的天文表獻給當時的國王，也把印度數字 1、2、3、4 …… 和印度的計算方法介紹給國王。印度數字和印度計數法既簡單又方便，它的優點遠遠超過其他的計數方法，很快被阿拉伯人接受，並廣泛傳播到歐洲各國，因此就稱作「阿拉伯數字」了。
而在公元 8 世紀初期，阿拉伯數字也曾經傳到中國，但是當時不被中國人採用。到了 16、17 世紀左右，西洋曆法傳入中國，這時又有人再次介紹和推廣阿拉伯數字，但還是未被普及應用。直到 19 世紀末和 20 世紀初，由於大量翻譯西方的數學書籍，並受到西方文化、科學、教育和經濟多方面的影響，阿拉伯數字才逐漸流行，因此中國普遍使用阿拉伯數字的歷史不算太長。
中國的數字結構
中國數字的表示法是參照了大約在公元前 3 世紀由印度婆羅米（Brahmi）所制定的「命數法」，以四個進位數為一組單位，並以小數點做為分隔，且區分正數及負數，加上十進位法，自成一套博大精深的計量結構體系。可惜國人甚少察覺這套嚴謹四進位的數位架構，當唸一長串數字時，仍然習慣地從右邊最後面的個位數一個一個位數地算上去，從左邊開頭讀出，並加入其間的組單位名稱，相當耗時間、沒概念、沒效率。
正確又具有概念的讀法應該是了解各組單位名稱後，以每四進位數為一組單位，非常有規律地重複 「千、百、十、個」。如此一來，即使十六位數字的讀法也可迎刃而解。
以 9999999999999999 為例，依照四位一進的組單位讀法，可立刻讀出九千九百九十九「兆」、九千九百九十九「億」、九千九百九十九「萬」、九千九百九十九。正如我們依序讀出 16 位數、四碼一組的金融卡卡號一樣，毫不費力，再加上各組單位的名稱，井然有序。其規則是千是第四位數，「萬」是第五位數到第八位數，第九至十二位數是「億」，而第十三位數到第十六位數是「兆」。
至於「兆」再上去依序是「京」（也就是第 17 ~ 20 位數）、「垓」（21 ~ 24 位數）、「秭」（25 ~ 28 位數）、「穰」（29 ~ 32 位數）、「溝」（33 ~ 36 位數）、「澗」（37 ~ 40 位數）、「正」（41 ~ 44 位數）、「載」（45 ~ 48 位數）、「極」（49 ~ 52 位數）、「恆河沙」（53 ~ 56 位數）、「阿僧祇」（梵文 asankhya）（57 ~ 60 位數）、「那由他」（梵文 nayuta）（61 ~ 64位數）、「不可思議」（65 ~ 68 位數）、「無量大數」（69 ~ 72 位數）。
到 68 進位數以上，是一般凡人無法觸及到的極大繁多的超級「無量大數」。而所謂「一日京兆」的意思，就是在一天當中，從 20 位數到 13 位數的榮華富貴化為烏有，意指空歡喜一場。而《西遊記》中孫悟空擁有的「行者變化，一變十，十變百，百變千 ……」，其實不是七十二變，而是指有七十二進位數之多、變化多端、無限上綱、千變萬化的廣妙神通。
以上是愛好冥想的印度人建構出來的博大浩瀚的數位架構，印度人在現象世界中，把數量推展至 7 × 7 ＝ 49 位數的「極」之上。而「恆河沙」、「阿僧祇」等更大、更多的數已是現象界不能夠「看」得「見」的物體，而是如華嚴經中所說的無數的單位（華嚴經中，60 進位數是「阿僧祇」，再由「阿僧祇」乘「阿僧祇」是「阿僧祇轉」，再自乘一次才是接近無限大的「無量大數」）。至於「那由他」、「不可思議」、「無量大數」等，已經是康德（Kant）所謂超乎想像、超乎實體的建構「存在」了。
至於小數點以下的「十退位」，其數位名依次是十分之一的「分」、百分之一的「釐」、千分之一的「毫」，以及萬分之一的「絲」，仍是以四退位為一組單位的結構體系。
「絲」「毫」相對於「千」「萬」不差的精算系統，再縮小依序是「忽」（5 ~ 8）、「微」（9 ~ 12）、「纖」（13 ~ 16）、「沙」（17 ~ 20）、「塵」（21 ~ 24）、「埃」（25 ~ 28）、「渺」（29 ~ 32）、「莫」（33 ~ 36）、「模糊」（37 ~ 40）、「逡巡」（41 ~ 44）、「須臾」（45 ~ 48）、「瞬息」（49 ~ 52）、「彈指」（53 ~ 56）、「剎那」（57 ~ 60）、「大德」（61 ~ 64）、「空虛」（65 ~ 68）、「清靜」（69 ~ 72）。
這 72 退位數的變少、變小，大概也只有悟「空」才有這個能耐，能夠在縮小到 68 退位數而了悟「空虛」，到 72 退位數之後才能夠「清靜」無為。這好比把思維「歸零」，或數學的「趨近於零」。在佛教中，就是要認知一切皆「空」，無我、無欲、無往、無相、無執，達到捨己，看破紅塵，這絕非凡人能夠參悟出的玄奧道理。
中國語文運用之妙，由數位詞可見一斑。大部分凡人看不見的小到何處惹「塵」（第 21 ~ 24 退位數）「埃」（第 25 ~ 28 退位數）之物，就顯得「渺」（第 29 ~ 32 退位數）小，而「莫」（第 33 ~ 36 退位數）須有了。至於第 37 ~ 40 退位數的「模糊」，就更加看不清了，殊不知還可以再縮小到「須臾」之間，再小到 7 × 7 ＝ 49 的 49 退位數「瞬息」之際（或再簡稱為「瞬」間）。
而再更微觀則可小到「彈指」間，再小則時「間」的「間」隔也沒了，就成了一「剎那」。再微小到「大德」，已經不是一般人可以想像的微乎其微了。
印度人並未把時間和空間分隔，位數很大時，原則是以容易看得見的空間為單位，如「秭」、「穰」、「溝」、「澗」、「恆河沙」；位數達到極小時，則是以肉眼難見到的時間為單位，如「須臾」、「瞬息」、「彈指」、「剎那」。太精細的數字中國人不屑理會、不求甚解，甚至嗤之以鼻，認為那些是「微」不足道的事。只有心思細密的人如陸機在《文賦》裡，把時、空交融，呈現為「觀古今於須臾，撫四海於一瞬」，才能感受那種唯微精一、觀微至極的細膩微妙。
中國人採用印度的數位算法，把宏觀的漸大、多，與微觀的漸小、少，分別由小數點（dot）向兩端展開，各有七十二數位，共有 144（12 × 12）位數。兩端各以四進、四退位發展，有規律地呈現「千、百、十、個」四個數位，同時也呈現整齊又規律、對稱的語意。
古云「差之毫釐，失之千里」，清晰地呈現博大的宏觀架構與精深的微觀架構間的對應關係，因為小數點以下的「毫」對應小數點以上第四進位的「千」。第五進位的「萬」，則與小數點後的「絲」對應，是以「千萬」財富對「絲毫」未得，「萬萬」不可對「絲絲」入扣，「萬無一失」對「一絲不茍」，「萬縷穿身」的相反則是「一絲不掛」。宏觀、微觀的大千、小盛世界都是相對應的。
西方的數字結構
西方的數字可以用英文體系為例，它把若干西方不同文明加以融會運用。英文的數位是一套完全不同於中式的系統、結構、概念，以「三進位數」為一單元，並且在阿拉伯數字後面每三進位數加一逗號（，），確也能夠做到一目了然，更精準、更科學的表示效果。
英文的一連串數位因為有「，」區隔，再加上每個單元只有三個數位，所以不必從個位數由右向左一個一個地數上來，再從左向右一路唸下去，只要把每三個數位分成一組，一個都是 9 的十二位數立刻就能唸出來（nine hundred and ninety-nine billion, nine hundred and ninety-nine million, nine hundred and ninety-nine thousand, and nine hundred and ninety-nine）。比 billion（美式十億，英式是兆）再大三位數就是 trillion（美式是兆，英式是百萬兆），再大極多位數就是 zillion，zillions of zillion 已經接近無限大了。
在科學記數上，西方則以希臘字母來取代，如千使用K（Kilo），再大的數分別是 M（Mega）、G（Giga）、T（Tera）、P（Peta）、E（Exa）、Z（Zetta）、Y（Yotta）。英文數位的減少仍依「三退位數」為一單元，與數位的增加屬同一架構。退位數的第一單元是「毫」（10−3，千分之一），再來是「微」（10−6，百萬分之一）、「奈」（10−9，十億分之一），它們對應的希臘字分別是 m（milli）、μ（micro）、n（nano）。
如以長度「米」為單位，分別是 10−3 的「毫米」（millimeter），10−6 的「微米」（micrometer），再小就是目前在半導體中最常提到的 10−9， 的「奈米」（nanometer）。以時間「秒」為單位時，毫秒（millisecond）是千分之一秒，而奈秒（nanosecond）就是毫微秒，數學式可表示成 10−3 × 10−6 ＝ 10−9 因此「奈」就是 10 的負 9 次方（退 9 位數）。
20 世紀以來人類大量使用顯微鏡觀察微生物的顯微結構，日常生活中也經常使用微波爐，並且與現代電腦軟體的代名詞－微軟形影不離，代表「微」這個單位的希臘字母「μ」已是眾所皆知、司空見慣了。
當前人們大量使用的更細微單位「奈」，可說是科技發展的當紅炸子雞，是最有價值的單（數）位名稱。如半導體工業引以為傲的奈米技術，半導體晶圓生產從 0.18 微米（180 奈米）製程精進到 0.13 微米（130 奈米）製程，再進步到 0.09 微米（90 奈米）的先進製程，這種技術已經進入更「微」小的奈米世界，必然需要奈秒、奈克、奈瓦，奈奈必爭的超精密量度了。
數字結構的融合與對照
中西方數字結構各自遵守統一、簡明的規則。由於英文數字是三進位數為一單位，而中文數字是四進位數為一單位，因此中文第五位的「萬」、第八位的「千萬」，在英文數位表示上就得改稱、改名。當我們唸英文時，「千」「萬」不可一味地停留在中文以「萬」計量的概念，「萬」在英文的數位並沒有專屬稱呼，只好改稱十千，再進一位的十萬就唸作百千，「千萬」也應該改唸十百萬，這也可以說是重新建構數位的唸法、寫法。
同理，在微觀的世界裡，絲毫不差的精密計算與絲絲入扣的描述中，也只好僅保留到「毫」的數位。「絲」與「萬」相對應，英文中沒有萬這個單位，自然也就沒有與絲相互呼應的單位，就只好以「十分之一毫」來表示「絲」了，如藥物的計量中以「十絲」克為一「毫」克。
中英的不同數位讀法，如維高次基所提，能同時建構人類腦部的「趨近發展區」。有些人把兩種趨近的語碼（雙碼並存）同時建構在長期記憶區，也就是同時具備雙母語，中英文俱佳。如此一來就好比使用豪華名貴的雙併大樓的雙樓梯，上下樓自然寬敞又方便。但八、九歲以後把英語當第二語言的學習者，就需要清晰、精準地做比較，以便確切了解兩種結構、兩套系統間的異同，再內化為固定而精熟且經常運用的雙架構。
一般中國人遇到唸中英數位都有不三（英式）不四（中式）的困擾，而產生皮亞傑所謂的「不平衡」，這時候就要看讀者中文是否較強，如果中文較強勢，就以中文的分法來統整西方的觀念。如果為了與世界接軌，就必須採用英文的觀念、概念，重新採納全新的組織系統，才不至於不中不西、不三不四、含混不清了。
在「瞬息」「萬」變的時刻，「萬」這個數位引申的概念、觀念、制度、系統漸被廢除，如萬歲爺、萬萬歲，或如馬來西亞華人把原來中印的「萬」改稱 「十千」，十萬改稱 「百千」，百萬為「千千」。
然而「萬」自從由印度佛教傳到中土，就開始漸漸鎔鑄為中華文化的一部分，攸關「萬」的成語，千「萬」或「萬萬」不可一併廢除，因為可能同時失去「萬」事如意、「萬」眾一心、「萬」無一失、心游「萬」仞（《文賦》），而換來「千」瘡百孔、「千」奇百怪的心有「千千」結。治「絲」益棼指一件事情被處理得越來越複雜，而在「微」觀世界裡，「絲」相對應於「萬」，這種小或少到萬分之一，已經沒有頭緒了，再精密細分為「微」（百萬分之一）、奈（十億分之一）就更加無可「奈」何了。
從事改造，理論與方法固然重要，心態似乎也很重要。今天，我們面對的很多問題常常是以前如此、現在也如此，很少去問為何如此，有此必要嗎？還合適嗎？如果繼續以為農業或工業社會設計的觀念與想法，面對要在 21 世紀資訊社會中過大半輩子的下一代，合適嗎？
然而捨棄過去一些不合時宜的傳承，會不會讓我們失去更多呢？就如中共文化大革命的中文簡體化，以及現今ｅ世代使用的火星文，是否會使許多中國文化與文字藝術之美流失，喪失了承先啟後、繼往開來的功能？不三不四的數字使用方式，或者重新建構一套全新的數字架構與規範，是否也會降低了我們的數字感度和文化涵養？這是值得深思的問題。
