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四維量子霍爾效應

102/05/13 9261

高涌泉｜臺灣大學物理學系

二十世紀物理有一件事非常奇特：高能粒子物理得向低能凝態物理取經。這與一般的想像相反，因為照理說，高能物理的目的在追尋基本交互作用規則，而其他物理學門僅是在了解與應用高能物理所找到的規則。所以高能物理是知識之源，如果有取經之事，應是其他學門向高能物理取經才對。而且高能物理研究的現象以能量論，是一般凝態現象的十億、百億倍以上，差異太大，怎麼可能有什麼類似之處？

但事實卻是，高能物理只有在取用了超導體BCS理論的精髓─「自發對稱破缺」之後，才找到正確的機制，建立起標準模型。具體一點地說，傳遞弱交互作用的W玻色子之所以帶有質量，其原理和超導體裡的光子也帶質量（即邁斯納（Meissner）效應）是一樣的。亦即對於弱交互作用來說，真空就是一個超導體。W玻色子是自旋為1（以普郎克常數為單位）的向量粒子，所以應該用規範場來描述。但是在最單純的規範理論中，向量粒子不帶質量，而W玻色子的質量卻又不小。因此，要了解弱交互作用，最大的挑戰就是尋找一個賦予W玻色子質量的機制。除了前述的方法之外，其他賦予W玻色子質量的辦法都有缺點，行不通。也就是說，只有利用規範對稱的自發破缺，規範玻色子才能正當的獲得質量，而不會引出數學矛盾。此外，強交互作用的基本現象─「手徵對稱」自發破缺也是物理學家南部陽一郎（Y. Nambu）從超導體理論取得靈感，才提得出來的。

從表面上看，天南地北很不一樣的現象，其背後居然隱藏著同樣的機制，一定有深刻的道理。這道理來自於制關鍵在於粒子物理與凝態物理其實有著奧妙的共同點。粒子物理所依賴的量子場論就是無窮維理論，而凝態物理根本就是多（無窮）體物理，所以兩者所研究的系統都有無窮維自由度。從數學角度來看，無窮維問題比有限維問題難度高很多。單純靠數學推論，很不容易看出理論的涵義。如果有實際的凝態系統以為參照，我們可以歸納出憑空想像不到的量子態（即量子場論的解），在建造粒子模型時，是很大的助力。當然，反過來看，高能場論的技巧也可以幫助解決凝態物理問題。因此，每當無論是高能或是凝態物理有了進展，必然會有人想要將它應用到另一方。

繼超導體之後，凝態物理又一個重要進展是（整數與分數）量子霍爾效應。一九八五與一九九八兩年的諾貝爾物理學獎就是頒給這個效應的研究者。如果利用半導體材料技術限制一群電子只能在二維平面上運動，將此平面電子系統置於強磁場（磁場方向與平面垂直）中，當電子密度是某些特殊值時，電子就會形成不可壓縮的量子流體。有趣的是，此量子流體的激發態可以帶有三分之一或其它分數的電子電荷，很類似夸克。假如二維系統有邊界，則在邊界上會出現所謂的「邊態」，其能量與動量成正比關係，就好像是沒有質量的相對論粒子，例如光子。當然這裡的「光子」只存在於一維的邊界上，而且沒有自旋，所以純然是比喻而已，僅在強調它不帶質量。

儘管量子霍爾效應很有趣，因為維度的限制，還不容易想像出它在高能物理有什麼可以應用之處。二○○一年十月，美國史坦福大學的張首晟教授與學生胡江平首度將量子霍爾效應的數學推廣到四維空間（Science 294, 823（2001））。他們先考慮的四維空間是S4，其中有一個特定的SU（2）規範場，扮演類似磁場的角色。粒子在規範場影響下，運行於四維空間中。他們發現，只要粒子密度選得恰好，這樣的系統也會是不可壓縮的量子流體。如果考慮的四維空間有三維邊界，則在三維邊界上出現的邊態，也是沒有質量的粒子。這與二維的情形是一樣的。但是不同於先前的一維邊態，現在的三維邊態帶有自旋，包括自旋是1與2的情形。不具質量，自旋為2的粒子就是傳遞萬有引力的重力子。這似乎表示，愛因斯坦廣義相對論會出現在三維邊界上。同樣地，自旋為1的粒子就是光子，所以馬克士威理論也會出現。

張首晟與胡江平的計算還不完整，並沒有把邊態的交互作用交代清楚。所以，就數學上言，是否愛因斯坦廣義相對論和馬克士威理論真會出現在三維邊界上，目前還言之過早。當然他們二人也還沒有明白地這麼宣告，不過他們顯然在暗示最後結論會是如此。假設果真是這樣，我們真實世界的三度空間有否可能是某個四度空間的邊界呢？而真實世界的廣義相對論和馬克士威理論其實也就是邊態理論而已？也就是說，量子霍爾效應的四維推廣，不僅是漂亮的數學而已，還有實際用處。

對於這樣的猜測，多數的高能理論學者仍然相當懷疑，馬上願意跳上四維量子霍爾效應列車的人還不多。無論如何，他們的工作已經引起注意，紐約時報，《物理世界》（Physics World），《科學美國人》（Scientific American）都有報導。不管新理論最終命運如何，有件事可以確定：高能物理與凝態物理會持續地相互取經。

資料來源

《科學發展》2002年3月，351期，73 ~ 74頁

標準模型(4)

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