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混沌的故事:都是蝴蝶惹的禍?

101/12/05 瀏覽次數 26671
萬物的起點?各種文明中的混沌
 
西文中關於混沌的釋義,一般可追溯到西元前700年左右的古希臘詩人Hesiod(禾休德)所著的Theogony,即名著《神譜》。其中Hesiod對混沌的描寫後來影響深遠。亞里斯多德(Aristotle,西元前384至前322年)曾經肯定過《神譜》對混沌的看法:「Hesiod在提出『原始混沌』時所說的話看來是對的。萬物之初,先有混沌,然後才產生出廣袤的大地。」

這解釋了為什麼在希臘神話中,一切都從混沌開始:宇宙之初的混沌,是一個無邊無際、一無所有的空間;隨後經歷了一次神奇的擾動,便誕生了大地母神Gaea(蓋亞)、地獄深淵神Tartarus(塔塔入司)、黑暗神Erebus(夜力卜司)、黑夜女神Nyx(妮可司)、愛神Eros(艾若司)等,世界從此開始。

古羅馬詩人Ovid(歐威德,約西元前43年至西元17年)所著,描寫希臘和羅馬神話故事的代表作《變形記》(Metamorphosis)中,發揮了Hesiod對混沌的描寫:「天地未形,籠罩一切、充滿寰宇者,實為一相,今名之曰混沌。」

《聖經》中也有許多對混沌的描述,最主要出現在〈創世紀〉中。其後的〈約伯記〉、〈以賽亞書〉、〈耶利米書〉和《聖經.新約》中的〈約翰一書〉對混沌的諸多討論都與此相關。在《舊約》中,混沌表達為tohu(英文意思是confusion),常和bohu(即void)連用,合起來寫成tohuwabohu ,希臘文寫成χάος。英文譯本中有多種譯法,通常都譯為 chaos。

中國古人也有類似的豐富想像:天地未開闢以前,宇宙是模糊一團的狀態,稱為「混沌」。《太上老君八十一化圖》的第二化有云:「空洞之中,又生太無,太無之內生玄元始三氣,三氣相合,稱為混沌。」太上老君者,道教之主也,他「出乎太無之先,起乎無極之源,經歷天地,不可稱載,終乎無終,窮乎無窮」。

西元165年,邊韶作《老子銘》,說 :「世之好道者觸類而長之,以老子離合於混沌之氣,與三光為終始。」因此,道教的經書《老子想爾注》中說:「一散形為氣,聚形為太上老君。」還有一說,太上老君是由春秋時代思想家老子(約西元前571年至不詳)演化而來。《史記.老子韓非列傳》有記載:老子姓李名耳,字伯陽,又稱「老聃」,楚國苦縣(河南)人。傳說,老子剛生下來時頭髮和眉毛都是白色,因此稱他為「老子」。

繼老子之後,戰國時期道家學派的主要代表人物是莊子,姓莊名周,蒙縣(河南商丘,或安徽蒙城)人氏。《莊子.應帝王》中有一句話:「南海之帝為倏,北海之帝為忽,中央之帝為渾沌。」在古文中,渾沌和混沌相通。

可見,「混沌」的概念在歐洲和中國古來有之,儘管含義不盡相同,哲理卻非常相近。但是,在現代科學裡,「混沌」即「chaos」卻是一個很不一樣的概念。
 

拉普拉斯的「邪念」:萬物可被預測?

 
首先從中學物理談起。牛頓在1686年建立了關於單個質點運動的3大定律。第一定律指沒有被外力作用的物體,會保持靜止或等速直線運動狀態。第二定律指物體的加速度和物體所受外力的合力成正比,和物體本身的質量成反比,並且加速度的方向和合力的方向相同。第三定律指兩個物體之間的作用力和反作用力大小相等、方向相反。

進一步,兩個質點的運動學問題,又叫做「克卜勒問題」,在1710年由白努利給出了解答:兩個物體以連心力互相作用,且力的大小和它們距離的平方成反比時,如果你站在一個質點上,那麼看到另一個質點的運動軌道會是一條直線、一條拋物線、一個橢圓,或者雙曲線的一個分支。

由於這些數學和物理學的結果如此完美漂亮,當時的科學家普遍認為,客觀世界的基本結構和運動原理應該都是非常協調和諧的。最具代表性的表述就是拉普拉斯的「邪念」(Laplace's Demon,1814年):

「我們可以認為,宇宙的現在是由它的過去決定的;現在也是決定未來的原因。如果有一位偉大的智者在某一時刻,獲知了自然界一切物體的位置和相互作用力,並且他具有超常的計算和分析能力,他就可以把宇宙這個最龐大的物體直到原子這個最細微的顆粒,全都囊括到一個公式中。對於這位智者來說,沒有什麼東西是不確定的—宇宙的未來會像它的過去一樣完全呈現在他的眼前。」

3個以至多個質點的運動學問題,看來大概也就是這樣了吧?但是後來發現,事情並非如此簡單。
 
拉普拉斯。於1814年提出,認為只要知道初始場每個粒子的位置與動量,就可以預測未來。(圖/wikipedia)拉普拉斯。於1814年提出,認為只要知道初始場每個粒子的位置與動量,就可以預測未來。(圖/wikipedia)
 
困擾眾人的三體問題
 
在牛頓和拉普拉斯那個年代,人們對太陽、地球和月亮這3個天體之間的相互影響十分關注。雖然科學家對它們的運動規律已經了解得比較清楚,但是對於這3個天體長時間運行過程中的狀態是否保持穩定還是一無所知。三體問題於是成了天體力學中的基本模型。事實上,多體問題的第1個完整數學描述已經包含在牛頓的《自然哲學的數學原理》一書中。

那時的科學家已經發現,在一般三體問題中,每一個天體在其他兩個天體的引力作用下的運動方程,都可以表示成3個二階的常微分方程,或者6個一階的常微分方程。因此,一般三體問題的運動方程是十八階,必須求得18個完全積分才能獲得一套完整的解析解。然而,理論上卻只能得到10個這樣的完全積分,因而三體問題未能徹底解決。

牛頓和拉普拉斯沒能解決這個問題,歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)、泊松(Poisson)等數學家和物理學家也都不能解決它。後來,歐拉在1767年和拉格朗日在1772年分別考慮了一種特殊情形,即「平面圓形限制性三體問題」,其中假定兩個大質點做平面圓周運動,而另一個小質點做三維空間運動。在這種限制條件下,他們先後找到了微分方程組的一共5個特解,即現在天文學中熟知的5 個「拉格朗日點」。但是,一般的三體問題依然沒有得到解決。

時光很快就穿越了1個世紀,這時法國出現了被認為是繼牛頓和歐拉之後,歷史上最後的一位數學通才—彭加萊(Poincaré)。1887年,瑞典和挪威國王奧斯卡二世(Oskar II)懸賞,徵求太陽系穩定性問題的解答,期望藉以解決天體力學中的多體問題。在這次競賽中,彭加萊以他在三體問題上的研究成果獲得大獎。
 
彭加萊:初始條件的誤差將造成巨大的差異

獲獎後,彭加萊的論文便被送到Acta Mathematica雜誌上排印發表。文章清樣出來後,負責校對的一個名為Phragmen(朴若各門)的年輕人覺得原文中有解釋不清楚的地方,於是建議作者加入詳細說明。可是彭加萊在修改的過程中,卻發現原來的數學證明有錯,於是夜以繼日進行修改。

這個重要的錯誤後來變成了好事,讓他深思熟慮之後徹底屏棄了傳統的定量分析方法,也就是尋求微分方程解的完全積分運算式的做法,轉而以定性分析方法重新探討這個數學上極其艱深的問題,並最終獲得了對三體穩定性問題的正確解答。他得獎論文的修訂版在3年之後才正式問世。彭加萊偉大之處,在於他在這次修正錯誤的過程中,創立了數學的一個分支—微分方程定性理論。
 
彭加萊被認為是歷史上最後的一位數學通才
彭加萊在1908 年《科學與方法》一書中回憶道:當時的錯誤源於「初始條件的微小誤差在最後結果中產生了極大的差別……使得預測變得不可能,從而我們就看到了許多偶然現象。」彭加萊的另一個偉大貢獻,是通過這個不平凡的觀察,開闢了通往「混沌理論」的新方向,其要點是初始條件微小的變化會引起方程解的巨大不同結果。

當然,歷史上許多耀眼的思想火花,在出現之前常常就已經存在相似的閃爍。物理學家馬克士威(Maxwell)早在1873年就說過,系統初始狀態的一個無窮小變化,可能會引起狀態在有限時間內出現有限的偏差,這樣的系統是不穩定的,並且會使得對將來事件的預測成為不可能。數學家阿達馬(Hadamard)在1898年也說過,初始條件中的誤差或不精確,可能會使系統長時間的動力行為變得不可預測。

但是,彭加萊對這個特徵的表述比任何前人都更加清晰而且「定性」。微分方程的解(或者說系統的狀態)的這個特殊敏感性質,後來成為了混沌理論的最基本特徵。彭加萊被認為是歷史上最後的一位數學通才
 
Lorenz的蝴蝶:混沌理論的科學革命
 
 在現代科學史中,真正數學和物理學意義下的混沌理論,公認是由麻省理工學院的氣象學家洛倫茲(Lorenz)提出的。
 
1961年冬的一天,當時還是副教授的洛倫茲用一台Royal McBee LPG-30電腦,對一個包含12個微分方程的氣象動力學方程組進行數值模擬試驗。在其中的一次驗算裡,為貪圖方便,他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理,僅輸入了小數點後前三位數。讓他大吃一驚的是,這個與精確數值不到千分之一的誤差,讓最後計算結果大相徑庭。
 
在現代科學史中,真正數學和物理學意義下的混沌理論,公認是由麻省理工學院的氣象學家洛倫茲提出的。
這個偶然的取值過失,讓洛倫茲發現了一個簡單具體並且有明確物理意義的、可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數學模型。1963年,洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為〈確定性的非周期流〉的論文。這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文,指出對於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果,使得有規律的周期性行為能夠進入雜亂無章的狀態,令精確的長期天氣預報變得不可能。

像歷史上許多偉大成果的命運一樣,洛倫茲的重要發現在論文發表後漫長的10年裡,一直沒有引起科學界的注意。1972年,洛倫茲在美國科學發展學會第139次會議上做了一個題為「可預測性:巴西一隻蝴蝶扇動一下翅膀,能否在德克薩斯州掀起一場龍捲風」的演講。他指出,一個微小的初始條件變化有可能引起一連串逐漸被放大的改變,最終導致完全意外的不同結果。這個觀點徹底粉碎了歷史上人們對「現時的確定性因果關係決定了對將來行為的可預測性」深信不疑的傳統觀念。在現代科學史中,真正數學和物理學意義下的混沌理論,公認是由麻省理工學院的氣象學家洛倫茲提出的。
 
Chen混沌系統產生的混沌軌線
他的這個「蝴蝶效應」通俗比喻,開始讓人們認識到「混沌」這一自然現象的存在和重要性。自此之後,混沌學成了一個活躍的研究方向,並被認為是在20世紀繼相對論和量子力學之後的第3個科學革命。接下來,學術論文和科普書籍接踵而至。

在採訪了兩百多名科學家後,《紐約時報》科技部主任葛雷易克(Gleick)於1987年出版了後來譽滿天下的暢銷書《混沌:不測風雲的背後》(Chaos: Making a New Science)。書中說道:「洛倫茲的這篇論文,在60年代的雜誌上每年被引用1次。可是20年後的今天,它每年被引用一百多次。」Chen混沌系統產生的混沌軌線
 
萬物皆混沌:混沌理論的廣泛應用

明白了「蝴蝶效應」的意思之後,你可能會聯想到許許多多歷史和現實生活中的例子和故事。你一定會想起「差之毫釐,繆以千里」這一成語。你可能也知道一首英文詩:

因為一根鐵釘丟了,使得一個馬蹄鐵壞了。
因為一個馬蹄鐵壞了,使得一匹戰馬摔倒了。
因為一匹戰馬摔倒了,使得一個騎兵陣亡了。
因為一個騎兵陣亡了,使得一場戰役輸了。
因為一場戰役輸了,使得一個國家滅亡了。


你可能還會想起蘇軾的一首七言詩:

斫得龍光竹兩竿,持歸嶺北萬人看。
竹中一滴曹溪水,漲起西江十八灘。


所有這些詩歌、諺語和故事都表達了同一個意思:初始條件微小的差別或改變,可能引發出巨大無比的後期效應。這正是科學「混沌理論」最根本的特徵。
 
自從洛倫茲在氣象預報研究中發現了混沌現象以來,人們陸續發現在眾多自然和社會變化中,如股市的起伏、政治的波動、天體的運行、疾病的傳播、心率的節奏、大腦的思維等,都在一定程度上存在混沌現象。近年來有不少新聞報導說,科學意義下的「混沌理論」在生物醫學、信息隱藏、流體混合等方面都找到了一些成功的應用。

當然,在現實生活中,「混沌」即chaos更多的時候是用來指紊亂、騷亂、動亂、混亂,它的含義不言而喻。這裡的「混沌」,和前面所說的,在朦朧含糊、雜亂無章方面是相通的。不過科學意義下的chaos常常是指「亂中有序、序中有亂」;而政治和經濟意義下的chaos,通常就不具有這層寓意了。

在現實生活中把「混沌」理解為湍亂混濁的一個生動例子,是唐代詩人孟郊的〈泛黃河〉。現把這首五言古詩抄錄如下,以饗讀者,並做為本文結語:

誰開昆侖源,流出混沌河。
積雨飛作風,驚龍噴為波。
湘瑟颼飀弦,越賓嗚咽歌。
有恨不可洗,虛此來經過。


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