西文中關於混沌的釋義，一般可追溯到西元前700年左右的古希臘詩人Hesiod（禾休德）所著的Theogony，即名著《神譜》。其中Hesiod對混沌的描寫後來影響深遠。亞里斯多德（Aristotle，西元前384至前322年）曾經肯定過《神譜》對混沌的看法：「Hesiod在提出『原始混沌』時所說的話看來是對的。萬物之初，先有混沌，然後才產生出廣袤的大地。」

這解釋了為什麼在希臘神話中，一切都從混沌開始：宇宙之初的混沌，是一個無邊無際、一無所有的空間；隨後經歷了一次神奇的擾動，便誕生了大地母神Gaea（蓋亞）、地獄深淵神Tartarus（塔塔入司）、黑暗神Erebus（夜力卜司）、黑夜女神Nyx（妮可司）、愛神Eros（艾若司）等，世界從此開始。

古羅馬詩人Ovid（歐威德，約西元前43年至西元17年）所著，描寫希臘和羅馬神話故事的代表作《變形記》（Metamorphosis）中，發揮了Hesiod對混沌的描寫：「天地未形，籠罩一切、充滿寰宇者，實為一相，今名之曰混沌。」

《聖經》中也有許多對混沌的描述，最主要出現在〈創世紀〉中。其後的〈約伯記〉、〈以賽亞書〉、〈耶利米書〉和《聖經．新約》中的〈約翰一書〉對混沌的諸多討論都與此相關。在《舊約》中，混沌表達為tohu（英文意思是confusion），常和bohu（即void）連用，合起來寫成tohuwabohu ，希臘文寫成χάος。英文譯本中有多種譯法，通常都譯為 chaos。

中國古人也有類似的豐富想像：天地未開闢以前，宇宙是模糊一團的狀態，稱為「混沌」。《太上老君八十一化圖》的第二化有云：「空洞之中，又生太無，太無之內生玄元始三氣，三氣相合，稱為混沌。」太上老君者，道教之主也，他「出乎太無之先，起乎無極之源，經歷天地，不可稱載，終乎無終，窮乎無窮」。

西元165年，邊韶作《老子銘》，說 ：「世之好道者觸類而長之，以老子離合於混沌之氣，與三光為終始。」因此，道教的經書《老子想爾注》中說：「一散形為氣，聚形為太上老君。」還有一說，太上老君是由春秋時代思想家老子（約西元前571年至不詳）演化而來。《史記．老子韓非列傳》有記載：老子姓李名耳，字伯陽，又稱「老聃」，楚國苦縣（河南）人。傳說，老子剛生下來時頭髮和眉毛都是白色，因此稱他為「老子」。

繼老子之後，戰國時期道家學派的主要代表人物是莊子，姓莊名周，蒙縣（河南商丘，或安徽蒙城）人氏。《莊子．應帝王》中有一句話：「南海之帝為倏，北海之帝為忽，中央之帝為渾沌。」在古文中，渾沌和混沌相通。

可見，「混沌」的概念在歐洲和中國古來有之，儘管含義不盡相同，哲理卻非常相近。但是，在現代科學裡，「混沌」即「chaos」卻是一個很不一樣的概念。

 

拉普拉斯的「邪念」：萬物可被預測？

首先從中學物理談起。牛頓在1686年建立了關於單個質點運動的3大定律。第一定律指沒有被外力作用的物體，會保持靜止或等速直線運動狀態。第二定律指物體的加速度和物體所受外力的合力成正比，和物體本身的質量成反比，並且加速度的方向和合力的方向相同。第三定律指兩個物體之間的作用力和反作用力大小相等、方向相反。

進一步，兩個質點的運動學問題，又叫做「克卜勒問題」，在1710年由白努利給出了解答：兩個物體以連心力互相作用，且力的大小和它們距離的平方成反比時，如果你站在一個質點上，那麼看到另一個質點的運動軌道會是一條直線、一條拋物線、一個橢圓，或者雙曲線的一個分支。

由於這些數學和物理學的結果如此完美漂亮，當時的科學家普遍認為，客觀世界的基本結構和運動原理應該都是非常協調和諧的。最具代表性的表述就是拉普拉斯的「邪念」（Laplace's Demon，1814年）：

「我們可以認為，宇宙的現在是由它的過去決定的；現在也是決定未來的原因。如果有一位偉大的智者在某一時刻，獲知了自然界一切物體的位置和相互作用力，並且他具有超常的計算和分析能力，他就可以把宇宙這個最龐大的物體直到原子這個最細微的顆粒，全都囊括到一個公式中。對於這位智者來說，沒有什麼東西是不確定的—宇宙的未來會像它的過去一樣完全呈現在他的眼前。」

3個以至多個質點的運動學問題，看來大概也就是這樣了吧？但是後來發現，事情並非如此簡單。

 

 

 

在牛頓和拉普拉斯那個年代，人們對太陽、地球和月亮這3個天體之間的相互影響十分關注。雖然科學家對它們的運動規律已經了解得比較清楚，但是對於這3個天體長時間運行過程中的狀態是否保持穩定還是一無所知。三體問題於是成了天體力學中的基本模型。事實上，多體問題的第1個完整數學描述已經包含在牛頓的《自然哲學的數學原理》一書中。

那時的科學家已經發現，在一般三體問題中，每一個天體在其他兩個天體的引力作用下的運動方程，都可以表示成3個二階的常微分方程，或者6個一階的常微分方程。因此，一般三體問題的運動方程是十八階，必須求得18個完全積分才能獲得一套完整的解析解。然而，理論上卻只能得到10個這樣的完全積分，因而三體問題未能徹底解決。

牛頓和拉普拉斯沒能解決這個問題，歐拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）、泊松（Poisson）等數學家和物理學家也都不能解決它。後來，歐拉在1767年和拉格朗日在1772年分別考慮了一種特殊情形，即「平面圓形限制性三體問題」，其中假定兩個大質點做平面圓周運動，而另一個小質點做三維空間運動。在這種限制條件下，他們先後找到了微分方程組的一共5個特解，即現在天文學中熟知的5 個「拉格朗日點」。但是，一般的三體問題依然沒有得到解決。

時光很快就穿越了1個世紀，這時法國出現了被認為是繼牛頓和歐拉之後，歷史上最後的一位數學通才—彭加萊（Poincaré）。1887年，瑞典和挪威國王奧斯卡二世（Oskar II）懸賞，徵求太陽系穩定性問題的解答，期望藉以解決天體力學中的多體問題。在這次競賽中，彭加萊以他在三體問題上的研究成果獲得大獎。

 

彭加萊：初始條件的誤差將造成巨大的差異

獲獎後，彭加萊的論文便被送到Acta Mathematica雜誌上排印發表。文章清樣出來後，負責校對的一個名為Phragmen（朴若各門）的年輕人覺得原文中有解釋不清楚的地方，於是建議作者加入詳細說明。可是彭加萊在修改的過程中，卻發現原來的數學證明有錯，於是夜以繼日進行修改。

這個重要的錯誤後來變成了好事，讓他深思熟慮之後徹底屏棄了傳統的定量分析方法，也就是尋求微分方程解的完全積分運算式的做法，轉而以定性分析方法重新探討這個數學上極其艱深的問題，並最終獲得了對三體穩定性問題的正確解答。他得獎論文的修訂版在3年之後才正式問世。彭加萊偉大之處，在於他在這次修正錯誤的過程中，創立了數學的一個分支—微分方程定性理論。

 

彭加萊在1908 年《科學與方法》一書中回憶道：當時的錯誤源於「初始條件的微小誤差在最後結果中產生了極大的差別……使得預測變得不可能，從而我們就看到了許多偶然現象。」彭加萊的另一個偉大貢獻，是通過這個不平凡的觀察，開闢了通往「混沌理論」的新方向，其要點是初始條件微小的變化會引起方程解的巨大不同結果。

當然，歷史上許多耀眼的思想火花，在出現之前常常就已經存在相似的閃爍。物理學家馬克士威（Maxwell）早在1873年就說過，系統初始狀態的一個無窮小變化，可能會引起狀態在有限時間內出現有限的偏差，這樣的系統是不穩定的，並且會使得對將來事件的預測成為不可能。數學家阿達馬（Hadamard）在1898年也說過，初始條件中的誤差或不精確，可能會使系統長時間的動力行為變得不可預測。

但是，彭加萊對這個特徵的表述比任何前人都更加清晰而且「定性」。微分方程的解（或者說系統的狀態）的這個特殊敏感性質，後來成為了混沌理論的最基本特徵。彭加萊被認為是歷史上最後的一位數學通才

 

 在現代科學史中，真正數學和物理學意義下的混沌理論，公認是由麻省理工學院的氣象學家洛倫茲（Lorenz）提出的。

 

1961年冬的一天，當時還是副教授的洛倫茲用一台Royal McBee LPG-30電腦，對一個包含12個微分方程的氣象動力學方程組進行數值模擬試驗。在其中的一次驗算裡，為貪圖方便，他把一個小數點後六位數的初始值做了四捨五入處理，僅輸入了小數點後前三位數。讓他大吃一驚的是，這個與精確數值不到千分之一的誤差，讓最後計算結果大相徑庭。

 

這個偶然的取值過失，讓洛倫茲發現了一個簡單具體並且有明確物理意義的、可以用來表現和驗證彭加萊混沌理論的數學模型。1963年，洛倫茲在美國《氣象學報》上發表了題為〈確定性的非周期流〉的論文。這篇文章和他隨後發表的另一篇相關論文，指出對於模型中關鍵參數的微小改變會導致完全不一樣的結果，使得有規律的周期性行為能夠進入雜亂無章的狀態，令精確的長期天氣預報變得不可能。

像歷史上許多偉大成果的命運一樣，洛倫茲的重要發現在論文發表後漫長的10年裡，一直沒有引起科學界的注意。1972年，洛倫茲在美國科學發展學會第139次會議上做了一個題為「可預測性：巴西一隻蝴蝶扇動一下翅膀，能否在德克薩斯州掀起一場龍捲風」的演講。他指出，一個微小的初始條件變化有可能引起一連串逐漸被放大的改變，最終導致完全意外的不同結果。這個觀點徹底粉碎了歷史上人們對「現時的確定性因果關係決定了對將來行為的可預測性」深信不疑的傳統觀念。在現代科學史中，真正數學和物理學意義下的混沌理論，公認是由麻省理工學院的氣象學家洛倫茲提出的。

 

他的這個「蝴蝶效應」通俗比喻，開始讓人們認識到「混沌」這一自然現象的存在和重要性。自此之後，混沌學成了一個活躍的研究方向，並被認為是在20世紀繼相對論和量子力學之後的第3個科學革命。接下來，學術論文和科普書籍接踵而至。

在採訪了兩百多名科學家後，《紐約時報》科技部主任葛雷易克（Gleick）於1987年出版了後來譽滿天下的暢銷書《混沌：不測風雲的背後》（Chaos: Making a New Science）。書中說道：「洛倫茲的這篇論文，在60年代的雜誌上每年被引用1次。可是20年後的今天，它每年被引用一百多次。」Chen混沌系統產生的混沌軌線

 

萬物皆混沌：混沌理論的廣泛應用

明白了「蝴蝶效應」的意思之後，你可能會聯想到許許多多歷史和現實生活中的例子和故事。你一定會想起「差之毫釐，繆以千里」這一成語。你可能也知道一首英文詩：

因為一根鐵釘丟了，使得一個馬蹄鐵壞了。
因為一個馬蹄鐵壞了，使得一匹戰馬摔倒了。
因為一匹戰馬摔倒了，使得一個騎兵陣亡了。
因為一個騎兵陣亡了，使得一場戰役輸了。
因為一場戰役輸了，使得一個國家滅亡了。

你可能還會想起蘇軾的一首七言詩：

斫得龍光竹兩竿，持歸嶺北萬人看。
竹中一滴曹溪水，漲起西江十八灘。

所有這些詩歌、諺語和故事都表達了同一個意思：初始條件微小的差別或改變，可能引發出巨大無比的後期效應。這正是科學「混沌理論」最根本的特徵。

 

自從洛倫茲在氣象預報研究中發現了混沌現象以來，人們陸續發現在眾多自然和社會變化中，如股市的起伏、政治的波動、天體的運行、疾病的傳播、心率的節奏、大腦的思維等，都在一定程度上存在混沌現象。近年來有不少新聞報導說，科學意義下的「混沌理論」在生物醫學、信息隱藏、流體混合等方面都找到了一些成功的應用。

當然，在現實生活中，「混沌」即chaos更多的時候是用來指紊亂、騷亂、動亂、混亂，它的含義不言而喻。這裡的「混沌」，和前面所說的，在朦朧含糊、雜亂無章方面是相通的。不過科學意義下的chaos常常是指「亂中有序、序中有亂」；而政治和經濟意義下的chaos，通常就不具有這層寓意了。

在現實生活中把「混沌」理解為湍亂混濁的一個生動例子，是唐代詩人孟郊的〈泛黃河〉。現把這首五言古詩抄錄如下，以饗讀者，並做為本文結語：

誰開昆侖源，流出混沌河。
積雨飛作風，驚龍噴為波。
湘瑟颼飀弦，越賓嗚咽歌。
有恨不可洗，虛此來經過。