在日常生活中會碰到很多資料或數字，你可以比大小、比多寡、或是比兩者的關聯性，都要靠統計。統計學（statistics）是我們了解這個世界的科學方法之一。她是來自state, status這個字源，最初做為描述人口、政府普查的資料。後來天文學家為了處理資料的變異性，才發展了初步的統計方法。在今天的國中課本中，都還有人口金字塔的圖，類似莖葉圖的開展形式，以表現出不同年齡層的人口數。

以下簡單介紹幾個和統計學有關的小故事，以及統計學的兩大支：描述統計和推論統計。

19世紀為了測量個別差異及生物的族群變異，統計技巧又更進一步。高爾登（Galton, 1822-1911，英國人）是達爾文的表弟，他把父親的遺產用來旅行，曾到過非洲南部。最為人所知的是他發現了人類有指紋，他也丈量人類的身高，以了解遺傳的特性。1884年，他成立了人體測量實驗室。他不僅對身體上的特徵有興趣，也認為這個世代的智力是與上個世代的智力「相關的」，是經由遺傳而來的。

高爾登雖然沒有發展出公式去計算今天我們所熟知的相關係數，但他發現非常高的父母所生的孩子，往往會比父母矮些，反而不是最高的，而非常矮的父母所生的孩子，則往往比父母高，因而在1885年發現了迴歸到平均（平凡）（regression toward the means （mediocity））的現象。我們把regression翻譯成迴歸，後來成為非常重要的統計分析方法之一。

我們雖然知道生物變異是生命的基本特性，也是達爾文天擇理論的基礎。然而皮爾森（Karl Pearson,1857-1936， 英國人）卻最先了解到變異是統計裡的重要本質。皮爾森描述分布函數的4個參數是平均數、標準差、對稱與峰度（有分高狹峰與低闊峰兩種）。

皮爾森並把高爾登所發現的相關用更完整的形式表達出來，就是相關係數。1900年他還發明了適合度檢定，來檢定人類頭蓋骨的容量分布，這是最古老的統計檢定。他曾經丟銅板24,000次，結果正面出現12,012次！發現了隨機（或機率）現象，就是銅板正面出現的機率是0.5005，他的耐力真是驚人。

另一個和統計學有關的是孟德爾修士（Gregor Mendel）用豌豆連續進行8年的雜交實驗。選擇實驗的材料是很重要的，豌豆是自花授粉，都是純種，且品種狀態差異性非常明顯，便於雜交實驗。他挑出了7對豌豆特性做為研究對象：高／矮莖、圓滑／皺縮種子、黃／綠子葉、葉腋／莖頂著衣、灰／白種皮、飽滿／皺縮豆莢、以及黃／綠未熟豆莢。8年內總共進行了225次交配實驗，並用統計方法處理了12,980個雜種！

 

他注意到豌豆經過雜交後，不同特徵的植株比例變化，會有一個數值關係。例如兩個親本雜交後的第一代，會完全表現出其中一個親本特性（如高莖），而雜交第二代的結果高莖有787株，矮莖有277株，兩種性狀的比例大約是3：1。1866年他發表〈植物雜種的研究〉，但論文在塵封34年後，才於1900年由另外3位科學家重新發現，世人公認遺傳學誕生了。

還有一個和統計學有關的生物發現，是盧瑞亞（Luria）發現細菌可以自然突變，這是他從「吃角子老虎」中獎機率是隨機的而領悟到的。因為若細菌會自然突變，它們的子代會有其特性，且會集中在其家族裡，而不是隨機分布在各家族裡。他在1969年獲得諾貝爾生理醫學獎，所指導的第一個研究生就是發現DNA雙螺旋結構的華森。

「尋找系統、登高望遠」是科學研究的法門之一，希望以上的小故事能提供讀者一些對統計學的興味。以下接著簡介統計學的基本原理和應用的幾個方向。在這裡先說一個故事。

曾任教育部部長、現任中央研究院副院長的曾志朗院士，在他的《人人都是科學人》一書中對「安太歲」這件事有生動的描述。他曾經為了不想拂逆長輩的好意，私下進行了一個研究，比較這12年來每年沖到太歲和沒有沖到的人，在當年度的厄運是否有所不同。

【定義變項】首先，界定什麼是厄運，如失業、失竊、交通意外、生病、考不好等。
【抽取樣本】再根據不同職業篩選15、25、45及65歲4個年齡層抽取一些樣本。
【蒐集資料】再根據大家的生肖分成沖和不沖太歲兩大類別，並計算厄運發生的次數。
【統計檢定】最後統計結果顯示，年齡、行業和沖不沖太歲3個變項都沒有達到顯著差異。
【結論】結論是，有沒有沖到太歲，和該年所遭遇到的厄運，兩者之間並無法證明有顯著的關係。
 

這個故事其實是在描述一個統計推論的過程，很生活化但富有科學教育的意義。而更精彩的還在後頭。

長輩認為統計分析的結果雖然如此，但並不能說一定沒有這回事（寧可信其有，即使碰到的機率很低），或者是沖到的人都已經安過太歲了，也就是樣本大概受到污染了（偏差樣本）。

曾院士回去後再把已安過太歲的樣本剔除，重新做了統計檢定，結果兩組還是沒有顯著差異。

統計學是從數據中獲取資訊的科學，分為兩大支，一支是描述統計，一支是推論統計。前者是我們在小學高年級時就開始接觸的平均數、圓餅圖、直方圖、長條圖等，主要用來描述資料的性質。而後者是要從現有資料中導出結論。

 

圓餅圖是南丁格爾（Florence Nightingale, 1820-1910）為了要求英軍在戰地開設醫院所設計出來的報告方式，藉以強調她在護理上的成果。她曾說：「若想了解上帝在想什麼，就必須學統計，因為統計學就是在測量祂的旨意。」若是要注意到觀察值的分布（正／負偏）、集中的情形、離散點等特性，John Tukey（1915-2000）所設計的莖葉圖則有很好的效果。頻率分配及直方圖可以看出連續資料的分布情形，是進行資料分析前很重要的步驟，不可省略。兩個連續變項的關係，則可以使用散布圖作圖。

 

南丁格爾設計的圓餅圖又叫南丁格爾玫瑰圖，她利用這個圖表來比較兩個年度的死亡人數與其原因的概略比例

 

許多報章雜誌常有很多精美的圖表，可以達到一圖勝千字的效果，但是別忘了統計會讓數字說話，也會讓數字說謊話。如長條圖會因為座標尺度的大小而在視覺上有不同的效果，因此在製作時要特別注意。

推論統計則是植基於機率論，是經過了抽取樣本、考驗假設的過程。我們對有興趣的現象，可以經由觀察一些變項，並記錄下資料，這些都是從樣本中得來的。樣本是一組觀察值由母群體抽出，具有母群體的代表性。母群體有其異於其他群體的特徵，如中小學老師，指的是在中小學而不是在大學教書的老師；如癌症病人，就與精神科病人不同。

樣本要能代表母群體特性，就必須有代表性，要能真正代表母群體，指的是在母群體中的每一單位都要有相同抽到的機會，這就叫做隨機抽樣。而廣播電視常見的call in，是一種偏差樣本，因為它並不是隨機抽取而是自願表達意見的，所以欠缺代表性。

機率是要了解母群體中抽出某項的機會為何，而統計則是基於樣本的狀況去推論母群體為何。也就是說，統計使用的是演繹法的精神。

前提（假設）：樣本的狀況是如此如此。
結論：母群體的狀況。

這種推理方式，對沒有受過邏輯訓練的人來說實在是很彆扭、不直觀，但這就是科學論證、推理的方法。有些學者認為中國雖然發明過許多精巧的技術，但因為沒有發展出推理、演繹的思維形式，所以一直到近代還沒能產生真正的科學！

母群體的母數，在希臘文是幾乎測量的意思，我們只能從樣本中去估計母數。17世紀開始，從賭博的問題發展了機率論，成為統計一個很重要的基礎。

機率分布是長期的頻率分布，使我們對隨機樣本有更好的預測。如最常被使用的常態分布，又稱做高斯分布。是為了紀念偉大的數學家高斯，他在18歲時發明最小平方法，並曾利用常態分布研究天文觀察中誤差分布的情形。這個分布是鐘形曲線、兩邊對稱的分布。大樣本觀察值的分布，很多是鐘型曲線。

 

常態分布的觀念在心理測驗中被大量運用，以制訂常模並決定受試者的相對位置（高下）。頗負盛名甚至可說是惡名昭彰的智力IQ，是以100分為平均數、15分為標準差的常模來「決定」學生的聰明才智。其實要發展智力，必須累積知識與活動，若能自動自發做一個好奇寶寶，我們大腦的智力會不斷發展！

至於統計分布則有Z分布、t分布等。當蒐集資料後，就可以計算出統計檢定量，並和某種特定統計分布比較，以考驗（檢定）我們的科學問題。波柏（Karl Raimund Popper, 1902－1994）從邏輯的觀點對「科學性」下了一個定律，即科學性的問題必須有否定的形式。波柏認為要正面證明科學的定律或研究者假設（Ha, alternative hypothesis）很難，但可以經否定虛無假設H₀（null hypothesis）來間接支持H_a，這就是所謂的Null Hypothesis Statistical Testing, NHST，是推論統計最重要的精神與途徑。

通常在實驗設計時會有實驗組及控制組（對照組），以比較給予不同處理後的效果。但有時受到研究倫理的限制，或者是處理隨機指派不能做到時，必須建立一個模型來描述各種變項間的關係，這稱為觀測研究。相關分析是最常見的，但須注意高相關並不代表具有因果關係。比如說夏天的犯罪率和汽水的銷售量有高相關，並不意味著汽水喝愈多就愈容易犯罪。迴歸分析可說是用來解釋現象裡變項間的關係最常用的統計方法，變異數分析則是它的特例。

 

高狹峰與低闊峰的分布

計學所處理的就是從樣本中觀察及加計無所不在的誤差，並把這不確定性納入統計模型，做更佳的預測與解釋。比如說以一個描述學生成就的徑路分析模型而言，前面兩個變項可能分別是父母的教育程度和收入，接下來會影響到學生對自己的期望，進而才影響到學業成就。而期望與成就都有誤差項，顯示還有其他因素會影響到這兩個變項，只是在這個模型中，沒有考慮到的因素就歸為誤差。

機率論始於賭博，但今天從決定論典範轉移到模糊（fuzzy）典範，從品質管理、流行病學到氣象水文、入口網站Google的搜尋引擎、人壽保險費率、新藥有效性的比較、民意調查等，這些都有充分的統計意義，而非偶然的結果。統計真的改變了我們所認知的世界。

準實驗設計和實驗設計最大的不同在於沒有隨機化。其實隨機抽樣和隨機分派會使組內變異一致，以利於實驗處理效果的比較。證明因果關係並不是那麼容易，最有名的例子之一，就是早年統計學大師費雪對抽煙導致肺癌的反駁。因為許多研究並非隨機化設計，或發表的論文有一面倒的傾向，事實就不容易浮現。

比如說追溯性的研究，是由疾病開始去回溯哪些條件和疾病有關。要找到另一組對照組和本實驗組一致，並不容易。另一種是追蹤性研究，看看數年後的變化，但能處理的也是很小的特定樣本，有推論母群體的困難。不過雖然每個研究或許有些許瑕疵，但若很多研究都趨向相同的結論時，證據就明顯了。統合分析可以幫我們這個忙。

 

國統計學學者杜奇（Tukey）有個名言：「對正確的問題有近似的答案，勝過對錯的問題有精確的答案。」這是很值得研究者深思的。「研究」（re-search），顧名思義不就是從過往的文獻中再加入新的觀點或解決之道嗎？

學習統計其實就是學習科學思維、態度和處理問題的方法。有一種詞彙分析，還可以把文學作品中的詞彙統計出來，其規律性可以反映出作者的風格，對文獻考古與版本確定有極大的幫助，甚至連是男性的口氣或女性的口氣都可以分析出來。現在，你可以就本文約5千字裡所呈現的詞彙，進行統計分析。假設是：作者是男的還是女的？

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