時空的奧祕–再談相對論
106/03/02
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欒丕綱｜
中央大學光電科學與工程學系
狹義相對論排除了以太與絕對空間，把時間與空間融合為時空，且發現光速是速度的上限。此外，導出了運動的時鐘會走得比較慢、運動的桿子會比較短等現象。這些結論都來自狹義相對論的兩大基本假設，即：所有慣性系中的自然定律都具有相同的形式，以及真空光速在任意慣性系裡都是個定值。
廣義相對論則是現代宇宙學的基礎，由其引出的時空觀念也是科幻電影與科普書熱門的題材。本文會從失重現象的觀察開始，藉著討論幾個「想像實驗」，逐步引導讀者理解廣義相對論的概念。
失重現象與局域慣性系
在狹義相對論中，慣性參考系的存在被當成是不需證明的。事實上，慣性系就像是歐幾里得幾何學中的直線一樣，是一個理想化的概念。但在真實的世界中，如何才能找到一個近似理想的慣性參考系呢？
我們都曾見過太空人在關掉動力的太空船內漂浮的景象，也熟知太空人如果丟出手中的蘋果，蘋果會在太空艙內以等速度直線前進（忽略空氣阻力）直到碰撞艙壁。其實這個被稱為「失重」的現象，只要用牛頓重力理論就可以理解。太空艙、太空人，以及蘋果，事實上都受地球（或月球、火星……）的重力作用，但決定他／它們環繞星球運轉的則是軌道上的重力場（重力加速度）以及初速度，而與他／它們各自的質量無關。
由於他／它們彼此的相對加速度是零，因此太空艙的內部看起來就跟慣性系一樣。造成上述這個奇妙結果的原因，在於物體所受到的重力大小與它的質量成正比，但物體受力運動的加速度則與它的質量成反比，這兩個相反的趨勢恰好抵銷，造成自由落體的加速度與落體質量無關。太空艙藉著在星球重力場中自由下落而抵銷了艙內的重力場，使它變成近似於慣性系。這類在重力場中自由墜落，內部空間很小以至於其中的重力場可視為均勻，因而可被完全消除的「自由落體參考系」就稱為局域慣性系（local inertial frame）。
人工重力與等效原理
反過來想，如果有一個遠離一切重力場源（如星球、黑洞、銀河等）的太空船，當它打開發動機加速前進時，太空船中的太空人適時鬆手放開一顆蘋果與一顆花生，就會看到蘋果與花生像是被重力場吸引般地加速並同時落到艙底，太空人站在艙底所看到的場景就如同站在某星球表面上所見的一樣。這個因為太空船的加速運動而在艙內產生的「人工重力」，在牛頓理論中稱作假想力或慣性力。
在轉動參考系中的離心力與科氏力（Coriolis force）也都是慣性力。在牛頓理論裡，慣性力與真實重力的效果是無法區分的。過去這只被當成是一種巧合，然而愛因斯坦很睿智地把這個巧合提升為一個原理。他假定重力場與加速系內的效果是完全一樣的，即使應用在光學現象上也不例外。這個把慣性力與重力統一的原理稱為等效原理（equivalence principle），是廣義相對論的一個基礎假設。
另考慮一個向上加速的太空艙內有一顆橫向穿越的子彈。由於子彈劃過太空艙內的空間需要時間，而在這段時間內太空艙是持續向上加速中，因此艙內的太空人會觀測到子彈的軌跡是一條向下彎曲的拋物線。同樣的現象對於在星球表面水平射出的子彈也成立，而且可簡單解釋為子彈是在重力場中向下掉落。假如等效原理對於光的傳播也成立，就可以根據加速太空艙的思維預測出光線在重力場中傳播時是會彎曲的。
愛因斯坦就是根據這個簡單的想法，在1911年第一次預測了重力場中的星光偏折現象。不過，那時候他估算出的星光偏折量只有正確值的一半，因為當時還沒有完整考慮到時空彎曲的效應。直到1915年，他提出完整的廣義相對論後，才計算出正確的數值。後來愛丁頓爵士所領導的日食觀測隊證實了這一預測。
旋轉圓盤、時鐘變慢與非歐幾何
再考慮一個相對於慣性系（如狹義相對論中那種空間與時間範圍都不受限的無窮大參考系）以固定角速度高速旋轉的圓盤參考系。很明顯的，轉盤上離盤心越遠的地方速度越快，因此一個固定在大半徑處的時鐘會走得比固定在小半徑處的時鐘慢。注意這裡的時鐘變慢是絕對的，與孿生子佯謬問題其實是同一個問題。圓盤上的單一時鐘被圓盤帶著轉，經過一系列慣性參考系裡的座標鐘，於繞一圈後累積的原時（固有時（proper time））比慣性系中的固定座標鐘的累積讀數少。
固定在圓盤上的鐘比它前後兩次相遇的同一個慣性系時鐘走得慢，又因為慣性系中的時鐘是同步化的，因此可以推論出大半徑處的時鐘比小半徑處的時鐘「絕對地」走得慢。不過，如果不借助於慣性系提供答案，轉盤上的觀察者們是否能夠比較不同半徑處兩個時鐘誰走得快呢？答案是「也可以」。
試想像在某個小半徑處（上游處）的時鐘旁的觀察者以身旁這個時鐘為準，每秒向外發射一個無線電訊號，某大半徑處（下游處）的觀察者就可以把接收到的兩個訊號的間隔與自己身旁的時鐘一秒做比較，結果依然會是下游處的時鐘走得比較慢。
這時，若轉盤邊緣上的觀察者用一把短尺（假定這把尺是慣性系內的觀察者用過）一尺一尺地測量圓周的總長度，並除以圓盤的半徑（使用同一把尺沿半徑方向測量），會得到什麼數值？這裡我們不探討這個轉盤是怎樣達到目前這個轉速的，而只假定這個轉速是穩定的，因而轉盤的邊緣一定可以跟慣性系內一個靜止不動的圓周完全重合。
根據狹義相對論，轉盤上沿圓周方向擺放的直尺因為高速運動而縮短了，因此會比慣性系中的尺量出更長的圓周長度。不過，測量半徑時，由於速度與尺的方向垂直，因此在尺長的方向不縮短，因而對半徑的測量與慣性系的結果一樣。根據這個推理，得知圓盤上的觀察者算出的圓周／直徑比會大於圓周率π！這個結果暗示轉盤上的幾何性質不符合歐幾里得幾何學，而必須用非歐幾何來描述。
事實上，非歐幾何的空間是有曲率的。也就是說，轉盤上的空間是「彎曲的」（不是視覺上看到轉盤變形的那種彎曲），它具有不是零的曲率。
重力紅位移與時空曲率
如果把等效原理應用在這個轉盤上，把離心力場與科氏力場都視為重力場，我們至少可以得到兩個暗示：第一、重力勢（gravitational potential）低的地方（轉盤上大半徑處），時鐘走得比較慢；第二、重力場內的空間有不是零的曲率。
第一個暗示還可以做更進一步的推論。已知原子的光譜就像是原子的「指紋」，不同元素的原子可以藉著它們的發射光譜而區分出來。假定在低重力勢的某處有一個發光的原子，它發出某特定頻率的光。另假定這個原子在它所在處的時鐘的一秒內發生了N次振盪，送出N個波長。
當這N個波長傳到一個重力勢較高處，由於當地時鐘走得較快，接收完這N個波長時，時鐘已經歷超過一秒的當地時間，因此接收到的光波振盪次數是每秒少於N次，即頻率降低了。因為頻率較低對應於顏色較紅的光，所以這個現象稱作重力紅移（gravitational redshift）。
在這些暗示的引導之下，愛因斯坦努力地尋找適合的數學工具，並在朋友的協助以及競爭者的激勵之下，於1915年11月完成了廣義相對論。在這個理論裡，時空仍然是四維的，但不再局限於狹義相對論中那個透過羅倫茲轉換所建構的平直的時空。原來的慣性系現在被只占據非常小的時空範圍（空間範圍很小，且只使用短暫的一瞬）的局域慣性系所取代。
因為在一個不夠小的空間範圍內，重力場通常不是均勻的，且在自由下落的過程中重力場可能逐漸增強，所以會有這個限制，因此必須限制局域慣性系於盡可能小的時空範圍（即數學上是無窮小），以使其中的重力場可以完全被消除。狹義相對論在這樣一個局域慣性內假定是成立的，由此就能給出無窮小時空範圍內的時空間隔／時空距離的意義。讀者或許會問，既然重力在局域慣性系內都被消除了，究竟要怎麼表現出重力效應呢？
更進一步考慮，當兩個空間上靠得很近的局域慣性系，「肩並肩」一起向著某個星球的「地心」墜落的情形（這裡暫時解除前述「只用一瞬」的假設）。由於墜落是指向地心的，因此這兩個參考系會越靠越近，而不是保持平行。這個特性呈現了重力場的不均勻性，又稱潮汐力場（tidal force field），是潮汐現象的成因。
如果把這個墜落過程翻譯成四維時空的語言，就會發現兩個局域系所代表的時空點在時空中劃出兩條越靠越近的測地線（geodesics），反映出這個時空具有不是零的時空曲率。如果把彎曲時空想像成像地球表面這樣的曲面，測地線就像是經度線這種在曲面上「最直的線」，它們在南北極的交會反映出地球表面的曲率其實不是零。因此，重力的真正效應表現出來就是潮汐場或時空曲率。現在科普書常說「重力就是時空曲率」，其中的「重力」在牛頓理論中其實是指潮汐力。
運動方程、重力場方程與重力波
廣義相對論包含了運動方程與重力場方程兩部分。前者說明一個只受重力作用的物體會在時空中畫出測地線，後者則說明時空曲率與物質及能量分布的關係。約翰．惠勒（John Wheeler）發明了一個很有趣的口訣形容廣義相對論的這兩組方程：物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動。不過，口訣第一句的「物質」指的是「場源」，例如太陽，第二句的「物質」則是指重力場中的落體，例如地球。
在場源質量遠大於落體的情況下，可以先從場方程解出時空的「形狀」，然後就可以根據這個形狀解運動方程找出落體在時空中的軌跡，一個具體的例子就是水星的軌道。愛因斯坦根據廣義相對論推算出了水星軌道，但它跟牛頓理論卻有微小的差異，其實這個差異恰好解釋了所謂「軌道進動」這個困擾天文學家好幾個世紀的謎題。
另一個例子就是前面提過的星光偏折效應。根據廣義相對論計算的結果大致符合日食的觀測，這個成就使愛因斯坦在一夕之間成了家喻戶曉的天才人物。但如果場源與落體的質量差異不大時，例如雙星或雙黑洞互繞的系統，這個理論的計算通常得依靠數值方法，而無法像牛頓理論那樣很容易就能得到解析解。
廣義相對論做為一個重力理論，還有一些與牛頓重力理論不同的有趣特徵。比如見到一個掉落的蘋果，牛頓理論會用重力解釋蘋果為何向下掉落，並用牛頓第二定律解釋加速運動的過程。然而廣義相對論卻把蘋果掉落的過程視為是它在彎曲時空中走測地線的必然結果。至於蘋果為何可以掛在樹上以及落地後為何會被地面擋住，這些偏離測地線的行為則需要依靠其他的作用力（例如原子間的電磁力）來解釋。
另外一個更重要的特徵，就是廣義相對論所描述的重力場不但統一了慣性力與來自物質場源的重力，還可以像電磁場一樣是動態的。從牛頓重力理論演變到廣義相對論，有點像從庫倫定律演變到馬克斯威方程，從這個類比不難想像，一個隨時間變化的質量或能量分布，在條件適當的情況下，可能會輻射出重力波，就如同習知的變化的電荷與電流分布能輻射出電磁波一樣。2016年所觀測到的重力波輻射，基本上就是一對在時空中互繞的黑洞所輻射出的時空曲率波。
