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阿拉伯數字怎麼來?——解開數字之謎

98/07/06 瀏覽次數 39216
在人類社會裡除了音符之外,阿拉伯數字是通行世界的另一種共同符號。阿拉伯數字的發音,隨著語言的不同各有變化,但符號是全球一致的。這個包括從0到9的 10 個符號,是由印度人在西元第3世紀發明的,經由阿拉伯傳入西歐。歐洲人以為是阿拉伯人發明的,因此稱為「阿拉伯數字」,現在已正名為「印度‧阿拉伯數字」。據說這 10 個符號的意義,原本是根據每一個符號的夾角數目來定義的。
 
數字的發明其實有憑有據?

原始的阿拉伯數字1有如一個鉤子,只有一個夾角,代表 1。書寫體的 1 已經簡化為一直線,但是許多印刷體仍然保留一個鉤。原始阿拉伯數字2有兩個夾角,現在的寫法已把上邊的一個夾角圓弧化而看不出來。阿拉伯數字3的原始符號有 3 個夾角,今天的寫法已經把上下兩個夾角圓弧化,但中間的夾角仍然清晰可見。
 
阿拉伯數字的原始寫法,數字中的小圈圈標示夾角,0是沒有夾角的。
原始阿拉伯數字4的符號有 4 個夾角,在原始的寫法中,水平那一直線並不穿越垂直的那一條線。筆者在美國求學時,看到美國同學書寫 4 的時候,水平線常只是碰觸垂直線而已,並沒有交叉通過。當時覺得這可能是他們的習慣寫法,沒想到原來這正符合阿拉伯數字 4 的原始寫法。

原始阿拉伯數字5的符號有 5 個夾角,隨著寫法的演化,今天的 5 已把底下 3 個夾角全部圓弧化而看不出來,只剩上邊 2 個夾角。至於6,今天的寫法由於圓弧化,只能勉強看到中間兩個夾角,然而原始符號卻有 6 個夾角。原始阿拉伯數字7當然有 7 個夾角,今天的印刷體由於省略了中間及底下的兩條水平線,而看不出夾角的正確數目。不過有不少人寫 7 的時候,會加上中間的那一條水平線,這大概是原始符號的痕跡了。

至於8這個阿拉伯數字,現在的寫法只能看出中間 4 個夾角,因為其他的夾角都被圓弧化了,原始的 8 的確有 8 個夾角。到了奇數之窮的9,今天的寫法也一樣只能勉強看到中間兩個夾角,然而原始的符號確實有 9 個夾角,今天印刷體中的 9,尾巴特別捲曲,正是原始符號的遺跡。最後來到0,原始符號與今天的寫法是一樣的,它是一個圓圈,沒有任何夾角,因此代表零。從以上的說明看起來,阿拉伯數字的原始符號是以夾角數目來代表該符號的意義,不也是很有創意的一種方法嗎?阿拉伯數字的原始寫法,數字中的小圈圈標示夾角,0是沒有夾角的。
 
雖然大多數的阿拉伯數字已經圓弧化,但仍留有原始符號的痕跡,如7和4的寫法。(圖/Unsplash)
每位學子都有過的疑問:0與1誰先開始?

從小我們就學會扳著手指數數兒,人類的左右手各有 5 個指頭,因此十進位的數學表達十分適合地球人。在史蒂芬‧史匹柏的電影〈外星人〉(The Extra-Terrestrial, ET)中,那位小外星人只有 4 個指頭,用十進位計數似乎並不方便,猜想他們極有可能使用八進位數學。當然今天電子計算機使用的二進位算術,只要 0 與 1、黑與白、圈與叉、或開與關,使用兩個不同的符號就可以表達所有的數字。

十進位算術對一般人而言,通常是在真正了解十進位是如何表達一個數目之前,就已經很熟悉地使用它了。比如說一個數字 123.625,我們能立刻讀出壹百貳拾參點陸貳伍,連小朋友也知道它的大小。但是國小數學老師似乎並沒有教我們,123.625 其實是 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100 + 6 × 10-1 + 2 × 10-2 + 5 × 10-3 的簡便寫法,也就是說 123.625 = 100 + 20 + 3 + 0.6 + 0.02 + 0.005,所以說百位(102)、十位(101)、個位(100)的觀念其實已經隱藏在我們的心中。

當然小學生尚未學到數學中「冪」的觀念,實在也很難講得那麼透徹。從「冪」的角度來看,因為底數是 10,所以個位、十位、百位等的次方,分別是 0、1、2 等,依此類推。也就是說十進位的整數部分,各個位數的冪是從 0 開始累加的,同時小數部分各個位數的冪是從 -1 開始遞減的。這就涉及到計數是從 0 開始,還是從 1 開始的問題。

深入討論這個問題之前,先講一個爬樓梯的急智問答。題目是:某人從大廳爬到二樓需 10 秒鐘,若各樓層一樣高,而且他爬樓梯的速度固定,請問他爬到四樓需時若干秒?雖然大多數的阿拉伯數字已經圓弧化,但仍留有原始符號的痕跡,如7和4的寫法。(圖/Unsplash)
 
從大廳爬樓梯到四樓需要多少時間呢?(圖/Unsplash)從大廳爬樓梯到四樓需要多少時間呢?(圖/Unsplash)
 
很多人會不假思索地回答說 20 秒或 40 秒,當然也有不少人會說出30秒的答案。回答 20 秒,是因為直覺反應認為四樓是二樓的兩倍高;回答 40 秒,是因為直覺反應認為爬一層樓要 10 秒鐘,爬到四樓自然就要 40 秒。這就是計數從 0 還是從 1 開始所產生的問題。

如果在英國,20 秒的確是正確答案,因為英國大廳在 ground floor,ground floor 上去才是一樓,也就是說地面樓是第 0 樓。但是很多國家的大廳是在一樓,也就是說地面的那一層就是一樓,臺灣也是如此。從地面樓爬上四樓,在英國需爬 4 個樓層,但在臺灣只需爬3個樓層,因此在臺灣 30 秒是正確的答案。這顯然是從 0 開始還是從 1 開始計數所產生的問題。

再看看掛在牆上的月曆,一般可以看到兩種標示星期的排法:一種是禮拜一擺在一個星期的第 1 天,禮拜天擺在最後(多數歐洲、南非、南美等國);另一種是把星期天當作一個禮拜的第 1 天,星期六是第 7 天(英、美、加拿大、澳洲等國家)。這也是計數從 0 開始與從 1 開始所造成的不同結果。
 
我國多把禮拜天當作一星期的第1天,禮拜一是第2天,依此類推,禮拜六是第7天。
雙重制度:0 與 1 是計數的基本

我們小孩一出生就是 1 歲,即使是除夕那天出生,第 2 天就兩歲了,這是我們文化中習於所謂虛歲算法的必然結果。也有人說生命本來就是從媽媽受孕就開始了,因此 10 月懷胎後出生算 1 歲,似乎也還說得過去(但年初出生的又如何說?)。不過今天許多法律文件講的是足歲,足歲的計算標準是以出生時為 0 歲而非1歲。一個人從呱呱墜地出生、孩提時代入學、投票法定年齡、乃至於就業退休,有太多法律事件是以足歲為依據的。

我們的文化中常有著兩個不一致,又同時被採行的制度。簡單地說,傳統文化習俗是一個系統,然而如民法等法律規章又是另一個系統,兩者在日常生活中運作,大部分的情況下兩者並不衝突,但是也有互相矛盾的時候。就拿結婚事件來說,早期我們祖父母輩以上的婚姻,如根據民法的定義,有許多是根本無效的,既沒有公開儀式,也沒有結婚證書,也沒有到戶政機關登記,不過他們卻多能白首偕老。有些事故或糾紛,其實是導源於法律與民俗不一致的結果。這種雙重制度也帶給這個社會額外的負擔與成本。

再回頭比較十進位與二進位計數。使用十進位數學時,個位數、十位數、百位數等各相鄰位數之間,有 10 倍的關係。因此以 10 當底數時,個位數、十位數、百位數等整數部分的冪(次方)分別是 0、1、2 等依序遞增,小數部分則由 -1、-2、-3 等依序遞減。

二進位計數則以 2 為底數,各相鄰位數之間有兩倍的關係。然而各位數的指數(冪)與十進位計數完全一樣,整數部分由 0、1、2 依序遞增,小數部分由 -1、-2、-3 依序遞減。因此十進位計數的 123.625 可以寫成 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100 + 6 × 10-1 + 2 × 10-2 + 5 × 10-3 ,而二進位計數法則寫成 1 × 26 + 1 × 25 +1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2-1 + 0 × 2-2 + 1 × 2-3,或是 1111011.101。我國多把禮拜天當作一星期的第1天,禮拜一是第2天,依此類推,禮拜六是第7天。
左圖示範了123.625的十進位邏輯,右圖則是二進位邏輯。十進位的123.625與二進位的1111011.101是等值的。
十進位與二進位計數都同樣使用次方表示法,這是兩種計數法相同的地方。此外,兩種計數法的個位數不管是 100 或是 20,基值都是 1。因此乍看之下 1 好像是計數的起頭,然而這個1卻又是源自任何底數 0 次方的結果,似乎 0 才是計數的最根本源頭。而且不論十進位、二進位、八進位、乃至十六進位計數,個位數的基值都是 1,指數永遠是 0。所以說 0 與 1 就是計數的基本,缺一不可。左圖示範了123.625的十進位邏輯,右圖則是二進位邏輯。十進位的123.625與二進位的1111011.101是等值的。
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