在人類社會裡除了音符之外，阿拉伯數字是通行世界的另一種共同符號。阿拉伯數字的發音，隨著語言的不同各有變化，但符號是全球一致的。這個包括從０到９的 10 個符號，是由印度人在西元第３世紀發明的，經由阿拉伯傳入西歐。歐洲人以為是阿拉伯人發明的，因此稱為「阿拉伯數字」，現在已正名為「印度‧阿拉伯數字」。據說這 10 個符號的意義，原本是根據每一個符號的夾角數目來定義的。

 

數字的發明其實有憑有據？

原始的阿拉伯數字１有如一個鉤子，只有一個夾角，代表 1。書寫體的 1 已經簡化為一直線，但是許多印刷體仍然保留一個鉤。原始阿拉伯數字２有兩個夾角，現在的寫法已把上邊的一個夾角圓弧化而看不出來。阿拉伯數字３的原始符號有 3 個夾角，今天的寫法已經把上下兩個夾角圓弧化，但中間的夾角仍然清晰可見。

 

原始阿拉伯數字４的符號有 4 個夾角，在原始的寫法中，水平那一直線並不穿越垂直的那一條線。筆者在美國求學時，看到美國同學書寫 4 的時候，水平線常只是碰觸垂直線而已，並沒有交叉通過。當時覺得這可能是他們的習慣寫法，沒想到原來這正符合阿拉伯數字 4 的原始寫法。

原始阿拉伯數字５的符號有 5 個夾角，隨著寫法的演化，今天的 5 已把底下 3 個夾角全部圓弧化而看不出來，只剩上邊 2 個夾角。至於６，今天的寫法由於圓弧化，只能勉強看到中間兩個夾角，然而原始符號卻有 6 個夾角。原始阿拉伯數字７當然有 7 個夾角，今天的印刷體由於省略了中間及底下的兩條水平線，而看不出夾角的正確數目。不過有不少人寫 7 的時候，會加上中間的那一條水平線，這大概是原始符號的痕跡了。

至於８這個阿拉伯數字，現在的寫法只能看出中間 4 個夾角，因為其他的夾角都被圓弧化了，原始的 8 的確有 8 個夾角。到了奇數之窮的９，今天的寫法也一樣只能勉強看到中間兩個夾角，然而原始的符號確實有 9 個夾角，今天印刷體中的 9，尾巴特別捲曲，正是原始符號的遺跡。最後來到０，原始符號與今天的寫法是一樣的，它是一個圓圈，沒有任何夾角，因此代表零。從以上的說明看起來，阿拉伯數字的原始符號是以夾角數目來代表該符號的意義，不也是很有創意的一種方法嗎？阿拉伯數字的原始寫法，數字中的小圈圈標示夾角，0是沒有夾角的。

 

每位學子都有過的疑問：０與１誰先開始？

從小我們就學會扳著手指數數兒，人類的左右手各有 5 個指頭，因此十進位的數學表達十分適合地球人。在史蒂芬‧史匹柏的電影〈外星人〉（The Extra-Terrestrial, ET）中，那位小外星人只有 4 個指頭，用十進位計數似乎並不方便，猜想他們極有可能使用八進位數學。當然今天電子計算機使用的二進位算術，只要 0 與 1、黑與白、圈與叉、或開與關，使用兩個不同的符號就可以表達所有的數字。

十進位算術對一般人而言，通常是在真正了解十進位是如何表達一個數目之前，就已經很熟悉地使用它了。比如說一個數字 123.625，我們能立刻讀出壹百貳拾參點陸貳伍，連小朋友也知道它的大小。但是國小數學老師似乎並沒有教我們，123.625 其實是 1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰ + 6 × 10^-1 + 2 × 10^-2 + 5 × 10^-3 的簡便寫法，也就是說 123.625 = 100 + 20 + 3 + 0.6 + 0.02 + 0.005，所以說百位（10²）、十位（10¹）、個位（10⁰）的觀念其實已經隱藏在我們的心中。

當然小學生尚未學到數學中「冪」的觀念，實在也很難講得那麼透徹。從「冪」的角度來看，因為底數是 10，所以個位、十位、百位等的次方，分別是 0、1、2 等，依此類推。也就是說十進位的整數部分，各個位數的冪是從 0 開始累加的，同時小數部分各個位數的冪是從 -1 開始遞減的。這就涉及到計數是從 0 開始，還是從 1 開始的問題。

深入討論這個問題之前，先講一個爬樓梯的急智問答。題目是：某人從大廳爬到二樓需 10 秒鐘，若各樓層一樣高，而且他爬樓梯的速度固定，請問他爬到四樓需時若干秒？雖然大多數的阿拉伯數字已經圓弧化，但仍留有原始符號的痕跡，如7和4的寫法。（圖／Unsplash）

 

 

很多人會不假思索地回答說 20 秒或 40 秒，當然也有不少人會說出30秒的答案。回答 20 秒，是因為直覺反應認為四樓是二樓的兩倍高；回答 40 秒，是因為直覺反應認為爬一層樓要 10 秒鐘，爬到四樓自然就要 40 秒。這就是計數從 0 還是從 1 開始所產生的問題。

如果在英國，20 秒的確是正確答案，因為英國大廳在 ground floor，ground floor 上去才是一樓，也就是說地面樓是第 0 樓。但是很多國家的大廳是在一樓，也就是說地面的那一層就是一樓，臺灣也是如此。從地面樓爬上四樓，在英國需爬 4 個樓層，但在臺灣只需爬3個樓層，因此在臺灣 30 秒是正確的答案。這顯然是從 0 開始還是從 1 開始計數所產生的問題。

再看看掛在牆上的月曆，一般可以看到兩種標示星期的排法：一種是禮拜一擺在一個星期的第 1 天，禮拜天擺在最後（多數歐洲、南非、南美等國）；另一種是把星期天當作一個禮拜的第 1 天，星期六是第 7 天（英、美、加拿大、澳洲等國家）。這也是計數從 0 開始與從 1 開始所造成的不同結果。

 

雙重制度：0 與 1 是計數的基本

我們小孩一出生就是 1 歲，即使是除夕那天出生，第 2 天就兩歲了，這是我們文化中習於所謂虛歲算法的必然結果。也有人說生命本來就是從媽媽受孕就開始了，因此 10 月懷胎後出生算 1 歲，似乎也還說得過去（但年初出生的又如何說？）。不過今天許多法律文件講的是足歲，足歲的計算標準是以出生時為 0 歲而非1歲。一個人從呱呱墜地出生、孩提時代入學、投票法定年齡、乃至於就業退休，有太多法律事件是以足歲為依據的。

我們的文化中常有著兩個不一致，又同時被採行的制度。簡單地說，傳統文化習俗是一個系統，然而如民法等法律規章又是另一個系統，兩者在日常生活中運作，大部分的情況下兩者並不衝突，但是也有互相矛盾的時候。就拿結婚事件來說，早期我們祖父母輩以上的婚姻，如根據民法的定義，有許多是根本無效的，既沒有公開儀式，也沒有結婚證書，也沒有到戶政機關登記，不過他們卻多能白首偕老。有些事故或糾紛，其實是導源於法律與民俗不一致的結果。這種雙重制度也帶給這個社會額外的負擔與成本。

再回頭比較十進位與二進位計數。使用十進位數學時，個位數、十位數、百位數等各相鄰位數之間，有 10 倍的關係。因此以 10 當底數時，個位數、十位數、百位數等整數部分的冪（次方）分別是 0、1、2 等依序遞增，小數部分則由 -1、-2、-3 等依序遞減。

二進位計數則以 2 為底數，各相鄰位數之間有兩倍的關係。然而各位數的指數（冪）與十進位計數完全一樣，整數部分由 0、1、2 依序遞增，小數部分由 -1、-2、-3 依序遞減。因此十進位計數的 123.625 可以寫成 1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰ + 6 × 10^-1 + 2 × 10^-2 + 5 × 10^-3 ，而二進位計數法則寫成 1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ +1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 0 × 2^-2 + 1 × 2^-3，或是 1111011.101。我國多把禮拜天當作一星期的第1天，禮拜一是第2天，依此類推，禮拜六是第7天。

十進位與二進位計數都同樣使用次方表示法，這是兩種計數法相同的地方。此外，兩種計數法的個位數不管是 100 或是 20，基值都是 1。因此乍看之下 1 好像是計數的起頭，然而這個1卻又是源自任何底數 0 次方的結果，似乎 0 才是計數的最根本源頭。而且不論十進位、二進位、八進位、乃至十六進位計數，個位數的基值都是 1，指數永遠是 0。所以說 0 與 1 就是計數的基本，缺一不可。左圖示範了123.625的十進位邏輯，右圖則是二進位邏輯。十進位的123.625與二進位的1111011.101是等值的。