對於下面這個命題，讀者應該不陌生：
給定一個直角三角形 △ABC，若邊長分別是 a，b，c，其中 a＜b＜c，則必定滿足關係式 c2 = a2 + b2。
或換個說法：
直角三角形中，直角所對的斜邊上的正方形面積，等於直角兩邊上的正方形面積的和。
是的，這就是大家耳熟能詳的畢氏定理，一個幾何學上基本且漂亮的定理。同時，它的逆定理也成立，也就是說，滿足上述關係的 3 數 a，b，c，必定形成一直角三角形。
本文之所以重彈這個「舊調」，是希望能加入數學史的素材為它添增色彩，俾使讀者可以看到畢氏定理的其他面向。
不同形式的畢氏定理
「畢氏定理」是因古希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras）證明它而得名。據說，畢達哥拉斯證明了這一定理後欣喜若狂，便叫他的門人宰了一百頭牛大肆慶祝。因此，這個定理也被暱稱為「百牛定理」。
但在畢氏之前，已有「間接」的證據顯示這定理可能早已為人所知。比如，現收藏於耶魯大學的一塊編號「YBC 7289」巴比倫石版，看來就是一個立起來的正方形，在其邊上有個數字 30，而橫的對角線上則有兩組數據 1；24，51，10 和 42；25，35（其中分號前的數目代表整數）。巴比倫人是採六十進位制，把這些楔形數字轉換成現行的十進位制，可以得到附圖中的數字，42.42639。
因為 30 × 1.414213 = 42.42639，這說明了巴比倫人已經知道正方形邊長 a 與對角線 d 的關係是 d = √2a。因此說巴比倫人知道了畢氏定理，應不為過。
同樣地，古代中國的數學家可能也已知道這個定理，同時掌握到直角三角形在解決測量問題上的重要性。在中國，它被稱為「勾股定理」或「商高定理」。之所以稱為「勾股定理」，是因為中國數學家把直角三角形稱為勾股形。
古代中國最重要的數學經典《九章算術》中就專闢〈勾股章〉，其內容有勾股定理、解勾股形（知道其中兩邊的條件求解第三邊）、勾股容方、勾股容圓、測望問題等。不過，整章最核心的部分就是勾股定理，三國時期的劉徽註解《九章算術》時，也給了證明，容筆者稍後介紹。
至於被叫作「商高定理」，則是因為出現在被認為是最早成書的算經《周髀算經》的篇首，藉著周公與商高兩人的對話，給出了「勾廣三，股修四，徑隅五」，滿足畢氏定理的三數組（也就是勾 3，股 4，弦 5）。同時，據史家的研究，兩人的對話中也交代了這定理的證明。
此外，在印度、埃及和阿拉伯這些不同的文明中，也發現了畢氏定理以不同形式出現的紀錄。
上述的事實顯示了畢氏定理在人類文明中的重要性與普遍性。然而古代人是如何「證明」或確認這個定理為真呢？如果你知道目前我們所熟練使用的符號代數是直到 17 世紀才大致成熟，就不會驚訝於為何畢氏定理的證明都是從面積的關係著手。
畢氏定理的證明
首先，從大家最熟悉的證明方法看起，雖然它的起源不甚明確，但普遍認為其想法是來自《周髀算經》。
已知大的正方形（邊長是 a + b）面積等於 4 個直角三角形（直角兩邊長 a 和 b）和一個小的正方形（邊長是 c）面積的和，因此如附圖左二：（左）大的正方形（邊長是a + b）面積等於4個直角三角形和一個小的正方形（邊長為c）面積的和。（右）把左圖重新排列可得到這個圖。這種把圖形適當切割、重新拼合的方式，是古代數學家用來證明幾何命題的重要方法。
配合簡單的代數運算，就輕易證明了畢氏定理。由此，讀者應該不難了解，為何國中數學是在談完乘法公式後才討論畢氏定理。不過，在沒有符號代數的協助下，古代的人又是怎麼證明的呢？其實，如果把上述描繪的圖形重新排列，或許也能得解，讀者不妨想一想。
這種把圖形適當切割、重新拼合的方式，是古代數學家常用來證明幾何命題的重要方法，註解《九章算術》的劉徽稱它是「出入相補」。當然，也是他用以證明勾股定理的方法：
勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。
畫圖對照一下，上述文字其實不難理解。不過，劉徽原來的圖形已經佚失，清代數學家李銳（1769-1817）則提出了一種可能的補圖，讀者也可試試是否有其他不同的圖解。
另一方面，在 9 世紀的伊蘭斯數學家塔比．伊本．庫拉（Thabit ibn Qurra，約 826-901）的證明中，也看到了相同的方法，只是切割方式不同，但同樣妙不可言。
見識了這麼多種證法之後，讀者或許也想知道畢達哥拉斯是如何證明的？很遺憾，我們並不清楚。但不妨來看看稍晚於畢氏的歐幾里得（Euclid）所提出的證明，這是西方數學上最有名的證法。它記載於歐幾里得所編著，對西方數學傳統，甚至是文化傳統影響最大的一部著作《幾何原本》（The Elements）中，就是卷一的命題四十七。藉由圖示輔助，我們嘗試說明它的核心想法。
由直角 C 往斜邊 AB 作直線，交 AB 邊於 K 點，交 GF 邊於 J 點。只要能證明正方形 ACDE 的面積等於長方形 AKJG 的面積、正方形 BCHI 的面積等於長方形 BKJF 的面積，便可完成畢氏定理的證明。這證法因涉及面積，因此也稱為面積證法。
欲證明正方形 ACDE 的面積等於長方形 AKJG 的面積，歐幾里得利用：
（1）正方形 ACDE 的面積等於三角形 AEB 面積的 2 倍（同底等高）；
（2）三角形 AEB 與三角形 ACG 全等（SAS 全等，不然也可以看成以 A 為旋轉中心，使三角形 AEB 順時針旋轉到三角形 ACG）；
（3）三角形 ACG 面積的二倍等於長方形 AKJG 的面積（同底等高）。
同理，可證明正方形 BCHI 的面積等於長方形 BKJF 的面積。
值得一提的是，歐幾里得在《幾何原本》卷六中更把這個定理推廣成直角三角形的三邊只要能張拓出圖形（不一定是正方形），斜邊上的圖形面積仍然會等於直角兩邊上的圖形面積的和。如此一來，可稱是畢氏定理最簡潔的證明就此出現，這個證法又稱為比例證法。
此外，上述的面積證法具有一般性。也就是說，當三角形 ABC 不是直角三角形時，一樣可以知道三角形邊長的關係。即，若 ABC 是銳角三角形時，較小兩邊上的面積和會大於最大邊上的面積。至於定量的描述，在引進三角函數後，就能輕易地把這一關係寫出，正是高中課程中的餘弦定理：
a2 = b2 + c2 ﹣2bccosA
由上述的介紹，不難發現畢氏定理不僅僅是課本所提 c2 = a2 + b2 的代數關係，其證明方式也非唯一。在不同文化中，畢氏定理（或畢氏三數組）各有其不同形式，但它的重要性卻是公認的。當然，時至今日，畢氏定理仍然非常重要。譬如在座標平面上所使用的距離公式，就是經由畢氏定理所建立的。
或許你會訝異於畢氏定理竟有如此多的證法。事實上，本文所介紹的證法只是較常被提及的幾個而已。路米司（Elisha Scott Loomis, 1852-1940）所著的《畢氏定理》一書，就收集了 370 個有關畢氏定理的各式證法。會有這麼多的證明，是因為在中世紀時，大學畢業生必須能理解畢氏定理，並且找到一種新的證法才能得到學位。因此，找尋畢氏定理的證法就成為一種風氣。
最後，有興趣的讀者不妨欣賞一下兩個有趣的證法。一個是美國第二十任總統 Garfield 的梯形證法；另一個是天才達文西的證明。
深度閱讀
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比爾．柏林霍夫、佛南度．辜維亞著（2008）溫柔數學史（洪萬生、英家銘暨 HPM 團隊譯），博雅書屋，臺北。
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李繼閔（1992）《九章算術》及其劉徽注研究，九章出版社，臺北。
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劉鈍（1995）大哉言數，遼寧教育出版社，瀋陽。
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Katz, V.J. (1993) A History of Mathematics: An Introduction. HarperCollins, New York, NY.
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Loomis, E.S. (1968) The Pythagorean Proposition: Its Demonstration Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of 'Proofs', National Council of Teachers of Mathematics, Washington, DC.
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Maor, Eli (2007) The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press, Princeton, NJ.
