數學：畢氏定理

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數學：畢氏定理

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蘇俊鴻｜臺灣臺北市立第一女子高級中學

對於下面這個命題，讀者應該不陌生：

給定一個直角三角形 △ABC，若邊長分別是 a，b，c，其中 a＜b＜c，則必定滿足關係式 c²= a² + b²。

或換個說法：

直角三角形中，直角所對的斜邊上的正方形面積，等於直角兩邊上的正方形面積的和。

是的，這就是大家耳熟能詳的畢氏定理，一個幾何學上基本且漂亮的定理。同時，它的逆定理也成立，也就是說，滿足上述關係的 3 數 a，b，c，必定形成一直角三角形。

本文之所以重彈這個「舊調」，是希望能加入數學史的素材為它添增色彩，俾使讀者可以看到畢氏定理的其他面向。

不同形式的畢氏定理

「畢氏定理」是因古希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras）證明它而得名。據說，畢達哥拉斯證明了這一定理後欣喜若狂，便叫他的門人宰了一百頭牛大肆慶祝。因此，這個定理也被暱稱為「百牛定理」。

但在畢氏之前，已有「間接」的證據顯示這定理可能早已為人所知。比如，現收藏於耶魯大學的一塊編號「YBC 7289」巴比倫石版，看來就是一個立起來的正方形，在其邊上有個數字 30，而橫的對角線上則有兩組數據 1；24，51，10 和 42；25，35（其中分號前的數目代表整數）。巴比倫人是採六十進位制，把這些楔形數字轉換成現行的十進位制，可以得到附圖中的數字，42.42639。

因為 30 × 1.414213 = 42.42639，這說明了巴比倫人已經知道正方形邊長 a 與對角線 d 的關係是 d = √2a。因此說巴比倫人知道了畢氏定理，應不為過。

同樣地，古代中國的數學家可能也已知道這個定理，同時掌握到直角三角形在解決測量問題上的重要性。在中國，它被稱為「勾股定理」或「商高定理」。之所以稱為「勾股定理」，是因為中國數學家把直角三角形稱為勾股形。

古代中國最重要的數學經典《九章算術》中就專闢〈勾股章〉，其內容有勾股定理、解勾股形（知道其中兩邊的條件求解第三邊）、勾股容方、勾股容圓、測望問題等。不過，整章最核心的部分就是勾股定理，三國時期的劉徽註解《九章算術》時，也給了證明，容筆者稍後介紹。

至於被叫作「商高定理」，則是因為出現在被認為是最早成書的算經《周髀算經》的篇首，藉著周公與商高兩人的對話，給出了「勾廣三，股修四，徑隅五」，滿足畢氏定理的三數組（也就是勾 3，股 4，弦 5）。同時，據史家的研究，兩人的對話中也交代了這定理的證明。

此外，在印度、埃及和阿拉伯這些不同的文明中，也發現了畢氏定理以不同形式出現的紀錄。

上述的事實顯示了畢氏定理在人類文明中的重要性與普遍性。然而古代人是如何「證明」或確認這個定理為真呢？如果你知道目前我們所熟練使用的符號代數是直到 17 世紀才大致成熟，就不會驚訝於為何畢氏定理的證明都是從面積的關係著手。

畢氏定理的證明

首先，從大家最熟悉的證明方法看起，雖然它的起源不甚明確，但普遍認為其想法是來自《周髀算經》。

已知大的正方形（邊長是 a + b）面積等於 4 個直角三角形（直角兩邊長 a 和 b）和一個小的正方形（邊長是 c）面積的和，因此如附圖左二：（左）大的正方形（邊長是a + b）面積等於4個直角三角形和一個小的正方形（邊長為c）面積的和。（右）把左圖重新排列可得到這個圖。這種把圖形適當切割、重新拼合的方式，是古代數學家用來證明幾何命題的重要方法。

配合簡單的代數運算，就輕易證明了畢氏定理。由此，讀者應該不難了解，為何國中數學是在談完乘法公式後才討論畢氏定理。不過，在沒有符號代數的協助下，古代的人又是怎麼證明的呢？其實，如果把上述描繪的圖形重新排列，或許也能得解，讀者不妨想一想。

這種把圖形適當切割、重新拼合的方式，是古代數學家常用來證明幾何命題的重要方法，註解《九章算術》的劉徽稱它是「出入相補」。當然，也是他用以證明勾股定理的方法：

勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。

畫圖對照一下，上述文字其實不難理解。不過，劉徽原來的圖形已經佚失，清代數學家李銳（1769-1817）則提出了一種可能的補圖，讀者也可試試是否有其他不同的圖解。

另一方面，在 9 世紀的伊蘭斯數學家塔比．伊本．庫拉（Thabit ibn Qurra，約 826-901）的證明中，也看到了相同的方法，只是切割方式不同，但同樣妙不可言。

見識了這麼多種證法之後，讀者或許也想知道畢達哥拉斯是如何證明的？很遺憾，我們並不清楚。但不妨來看看稍晚於畢氏的歐幾里得（Euclid）所提出的證明，這是西方數學上最有名的證法。它記載於歐幾里得所編著，對西方數學傳統，甚至是文化傳統影響最大的一部著作《幾何原本》（The Elements）中，就是卷一的命題四十七。藉由圖示輔助，我們嘗試說明它的核心想法。

由直角 C 往斜邊 AB 作直線，交 AB 邊於 K 點，交 GF 邊於 J 點。只要能證明正方形 ACDE 的面積等於長方形 AKJG 的面積、正方形 BCHI 的面積等於長方形 BKJF 的面積，便可完成畢氏定理的證明。這證法因涉及面積，因此也稱為面積證法。

欲證明正方形 ACDE 的面積等於長方形 AKJG 的面積，歐幾里得利用：
　　（1）正方形 ACDE 的面積等於三角形 AEB 面積的 2 倍（同底等高）；
　　（2）三角形 AEB 與三角形 ACG 全等（SAS 全等，不然也可以看成以 A 為旋轉中心，使三角形 AEB 順時針旋轉到三角形 ACG）；
　　（3）三角形 ACG 面積的二倍等於長方形 AKJG 的面積（同底等高）。
同理，可證明正方形 BCHI 的面積等於長方形 BKJF 的面積。

值得一提的是，歐幾里得在《幾何原本》卷六中更把這個定理推廣成直角三角形的三邊只要能張拓出圖形（不一定是正方形），斜邊上的圖形面積仍然會等於直角兩邊上的圖形面積的和。如此一來，可稱是畢氏定理最簡潔的證明就此出現，這個證法又稱為比例證法。

此外，上述的面積證法具有一般性。也就是說，當三角形 ABC 不是直角三角形時，一樣可以知道三角形邊長的關係。即，若 ABC 是銳角三角形時，較小兩邊上的面積和會大於最大邊上的面積。至於定量的描述，在引進三角函數後，就能輕易地把這一關係寫出，正是高中課程中的餘弦定理：

a² = b²+ c² ﹣2bccosA

由上述的介紹，不難發現畢氏定理不僅僅是課本所提 c² = a² + b² 的代數關係，其證明方式也非唯一。在不同文化中，畢氏定理（或畢氏三數組）各有其不同形式，但它的重要性卻是公認的。當然，時至今日，畢氏定理仍然非常重要。譬如在座標平面上所使用的距離公式，就是經由畢氏定理所建立的。

或許你會訝異於畢氏定理竟有如此多的證法。事實上，本文所介紹的證法只是較常被提及的幾個而已。路米司（Elisha Scott Loomis, 1852-1940）所著的《畢氏定理》一書，就收集了 370 個有關畢氏定理的各式證法。會有這麼多的證明，是因為在中世紀時，大學畢業生必須能理解畢氏定理，並且找到一種新的證法才能得到學位。因此，找尋畢氏定理的證法就成為一種風氣。

最後，有興趣的讀者不妨欣賞一下兩個有趣的證法。一個是美國第二十任總統 Garfield 的梯形證法；另一個是天才達文西的證明。

深度閱讀

比爾．柏林霍夫、佛南度．辜維亞著（2008）溫柔數學史（洪萬生、英家銘暨 HPM 團隊譯），博雅書屋，臺北。
李繼閔（1992）《九章算術》及其劉徽注研究，九章出版社，臺北。
劉鈍（1995）大哉言數，遼寧教育出版社，瀋陽。
Katz, V.J. (1993) A History of Mathematics: An Introduction. HarperCollins, New York, NY.
Loomis, E.S. (1968) The Pythagorean Proposition: Its Demonstration Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of 'Proofs', National Council of Teachers of Mathematics, Washington, DC.
Maor, Eli (2007) The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press, Princeton, NJ.

資料來源

《科學發展》2011年3月，459期，12 ~ 17頁

畢氏定理(4) 三角函數(2) 科發月刊(5221)

數學：畢氏定理

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